おもしろい×おもしろい=もっとおもしろい

おもしろい×おもしろい=もっとおもしろい

※これは思い付きで書いていて、初めて書く記事でもあるので、需要もないような内容wであり、得られる知識も多分無いので超暇な人以外は読まないことをお勧めします。

つい先日、チャットアプリで雑談をしていた時に、
「おもしろい×おもしろい=もっとおもしろい」
と言った人がいて、虫食い算にしか見えなかったので虫食い算について考えることにしました。まあ「おもしろい×おもしろい=もっとおもしろい」は勿論虫食い算として成立しませんが、もし成立した場合、$6$桁の整数の$2$乗の下$6$桁が元の整数と同じになるという性質を持つことになります。ということで本記事では「正整数$n$と$n^2$の下$m$桁が同じになるような$n$」について適当に考えていきます。

本題

まず下$1$桁から考えたくなりますよね。$2$乗しても一の位の数が変わらない整数の一の位は、$1$と$5$と$0$に限定されます。

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ところで、$$a{5}_{(10)}^2=100a(a+1)+25(aは正整数)$$というのは有名ですよね。例えば、$a=2$で$${25}^2=100\cdot 2\cdot 3+25=625$$という風なものです。ということで、下$2$桁が$25$であると$m=2$になります。記録更新です。では、とりあえず下$2$桁が$25$だとして話を進めます。$n$のいわゆる$100$の位というものを考えます。先程の式で出てきた$a$をまた使うと、$$a\equiv a(a+1)(mod10)$$
で、これが成立するのは$a$は$10$の倍数の時なんですよね。これは$n$の下$2$桁が$25$であることに反するので駄目でした。

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下$2$桁が揃うのは、$n\equiv 1(mod100)$の時だけです。下$3$桁は$n\equiv 1(mod1000)$の時です。まあここまで来ると流石に分かるのですが、再帰的に一の位以外の位で$0$が決まっていくんですよね。
$100\dots 001$や$200\dots 001$等が例です。記録更新しました。

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わざわざ$0$を最後に持ってきた理由、それは$\dots$
説明する意味がないほど瞬殺だからですね。はい。

最後に

初めての記事投稿となりましたが、ここまで読んで下さった方、本当にありがとうございます。深夜テンションで書き上げたボロボロな文なのに読んで頂きありがとうございましたー！

おわり