z変換:二項係数 C(2n,n)のz変換を求める。

$$a(n):=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})={\displaystyle \frac{(2n)!}{(n!{)}^2}}$$とおく。なお、$n<0$のとき$a(n)=0$である。
式変形して
$$\begin{array}{rcl}a(n)& =& {\displaystyle \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)!}{(n(n-1)!{)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2n(2n-1)(2(n-1))!}{n^2((n-1)!{)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2(2n-1)}{n}}a(n-1)\end{array}$$となり漸化式が得られた。
この漸化式に離散デルタ関数$\delta (n)$と単位階段関数$u(n)$を使って初期値を埋め込んで
$$\begin{array}{rcl}a(n)& =& \{\begin{array}{cc}1& (n=0)\\ \frac{2(2n-1)}{n}a(n-1)& (n>0)\end{array}\\ & =& \delta (n)+\frac{2(2n-1)}{n}a(n-1)u(n-1)\\ & =& \delta (n)+(4-\frac{2}{n})a(n-1)u(n-1)\\ & =& \delta (n)+4a(n-1)u(n-1)-\frac{2}{n}a(n-1)u(n-1)\end{array}$$
両辺を$z$変換して、2項目にシフト則を適用して
$$A(z)=1+4z^{-1}A(z)-2\mathcal{Z}\left[{\displaystyle \frac{a(n-1)u(n-1)}{n}}\right]$$ただし$A(z)=\mathcal{Z}[a(n)]$。ここで$\underset{n\to 0}{lim}a(n-1)u(n-1)=a(-1)u(-1)=0\cdot 0=0$なので$z$変換の積分則が使えてシフト則を適用して
$$\begin{array}{rcl}A(z)& =& 1+4z^{-1}A(z)-2({\int }_z^{\mathrm{\infty }}{w}^{-1}\mathcal{Z}[a(n-1)u(n-1)]dw+\underset{n\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{a(n-1)u(n-1)}{n}})\\ & =& 1+4z^{-1}A(z)-2{\int }_z^{\mathrm{\infty }}{w}^{-2}A(w)dw\because \underset{n\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{a(n-1)u(n-1)}{n}}=0\end{array}$$ここで両辺を$z$で微分して式を整理すると
$$\begin{array}{rcl}4z^{-2}A(z)+(1-4z^{-1})\frac{d}{dz}A(z)& =& 2z^{-2}A(z)\because {\displaystyle \frac{d}{dz}}{\int }_z^{\mathrm{\infty }}{w}^{-2}A(w)dw=-z^{-2}A(z)\\ \frac{d}{dz}A(z)& =& -2\frac{z^{-2}}{(1-4z^{-1})}A(z)\\ \frac{d}{dz}A(z)& =& -2\frac{1}{z(z-4)}A(z)\end{array}$$という変数分離型の微分方程式を得る。よって
$$\begin{array}{rcl}\int \frac{dA(z)}{A(z)}& =& -2\int \frac{1}{z(z-4)}dz\\ \log A(z)& =& -2\int \frac{\frac{-1}{4}}{z}+\frac{\frac{1}{4}}{z-4}dz\\ & =& -\frac{2}{4}(-\log \left(z\right)+\log (z-4))+C_0\\ & =& -\frac{2}{4}\log (1-4z^{-1})+C_0\\ \therefore A(z)& =& e^{-\frac{1}{2}\log (1-4z^{-1})+C_0}=C_1\cdot \sqrt{\frac{z}{z-4}}\end{array}$$ただし、$C_0,C_1$は積分定数。
$C_1$を求める。両辺の$z\to \mathrm{\infty }$の極限をとり、左辺の極限は$z$変換の初期値の定理を適用して
$$\begin{array}{rcl}\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}A(z)& =& \underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_1\cdot \sqrt{\frac{z}{z-4}}=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_1\cdot \sqrt{\frac{1}{1-4z^{-1}}}\\ a(0)& =& C_1\cdot \sqrt{\frac{1}{1-0}}=C_1\end{array}$$　$a(0)=1$なので$C_1=1$
よって
$$\therefore \mathcal{Z}\left[(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\right]=A(z)=\sqrt{{\displaystyle \frac{z}{z-4}}}(\text{収束領域は}|z|>4)$$
となり命題が証明された。