Twitterで次のような問題を見かけて解いたのですが、見かけによらず難しかった(そして面白かった)ので、忘れないうちに解法を書いておこうと思います.
連続関数$f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$が任意の$\delta>0$に対して$\lim_{n\to \infty}f(\delta n)=0$を満たすとき、$\lim_{x\to \infty}f(x)=0$を示せ.
$\lim_{x\to \infty}f(x)=0$でないと仮定して矛盾を導く.仮定よりある$\varepsilon>0$が存在して以下が成り立つ:
ここで$\mathbb{R}$の空でない開区間の減少列$C_1\supset C_2\supset \cdots$を次のように帰納的に定める.$C_1=(1,2)$とする.$C_n=(c_n,d_n)$まで定まっているとき、
$$
\frac{c_n}{d_n}<\frac{N}{N+1}<1
$$
となる$n$以上の整数$N$のうち最小のものを取る.すると
$$
\dfrac{a_N}{N},\dfrac{a_N}{N+1},\dfrac{a_N}{N+2},\cdots
$$
の隣り合う項の比は$\dfrac{c_n}{d_n}$より大きく、$\dfrac{a_N}{N}>2\geq d_i$なので、これらの中に$C_n$に属するものが存在する.そこで$\dfrac{a_N}{M}\in (c_i,d_i)$となる$N$以上の整数$M$のうち最小のものを取り
$$
C_{n+1}=\left(\dfrac{a_N}{M},\dfrac{\dfrac{a_N}{M}+\min\{\dfrac{b_N}{M},d_n\}}{2}\right)
$$
と定める.
構成より$C_{n+1}$の閉包は$C_n$に含まれるので、閉区間のコンパクト性より$\bigcap_{n=1}^\infty C_n\neq \emptyset$である.構成より任意の$\delta\in \bigcap_{n=1}^\infty C_n$は次の性質を満たす:
これは問題の仮定に反している.