関数の収束に関する面白い問題

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$でないと仮定して矛盾を導く．仮定よりある$\epsilon >0$が存在して以下が成り立つ：

• 任意の正整数$N$に対して$2N<a_N<b_N$なる実数$a_N,b_N$が存在し、$x\in (a_N,b_N)⟹|f(x)|\ge \epsilon$となる．

ここで$\mathbb{R}$の空でない開区間の減少列$C_1\supset C_2\supset \cdots$を次のように帰納的に定める．$C_1=(1,2)$とする．$C_n=(c_n,d_n)$まで定まっているとき、
$$\frac{c_n}{d_n}<\frac{N}{N+1}<1$$
となる$n$以上の整数$N$のうち最小のものを取る．すると
$${\displaystyle \frac{a_N}{N}},{\displaystyle \frac{a_N}{N+1}},{\displaystyle \frac{a_N}{N+2}},\cdots$$
の隣り合う項の比は${\displaystyle \frac{c_n}{d_n}}$より大きく、${\displaystyle \frac{a_N}{N}}>2\ge d_i$なので、これらの中に$C_n$に属するものが存在する．そこで${\displaystyle \frac{a_N}{M}}\in (c_i,d_i)$となる$N$以上の整数$M$のうち最小のものを取り
$$C_{n+1}=({\displaystyle \frac{a_N}{M}},{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a_N}{M}}+min\{{\displaystyle \frac{b_N}{M}},d_n\}}{2}})$$
と定める．

構成より$C_{n+1}$の閉包は$C_n$に含まれるので、閉区間のコンパクト性より$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n\ne \mathrm{\varnothing }$である．構成より任意の$\delta \in \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n$は次の性質を満たす：

• 任意の正整数$n$に対してそれよりも大きい正整数$M$が存在し、$|f(\delta M)|\ge \epsilon$となる．

これは問題の仮定に反している．