${}$

この記事では, 以下の等式を証明しようと思います.

<div style="padding: 0.2em 0.5em;
    margin: 2em 0;
    background: -webkit-repeating-linear-gradient(-45deg, #f0f8ff, #f0f8ff 3px,#e9f4ff 3px, #e9f4ff 7px);
    background: repeating-linear-gradient(-45deg, #f0f8ff, #f0f8ff 3px,#e9f4ff 3px, #e9f4ff 7px);
    box-shadow: 0px 0px 0px 5px #e9f4ff;
    border: dashed 2px white;">$$\TextCenter b_n=\sumk{0}(-1)^k\binom{n}{k}a_k\ \Leftrightarrow\ a_n=\sumk{0}(-1)^k\binom{n}{k}b_k$$</div>


色々な証明ができそうですが, 今回はこのような証明を考えてみました.

(証明)

シフト作用素$S$を
$$\TextCenter Sa_n=a_{n-1}$$
として定めます.

すると, $a_k=S^{n-k}a_n$なので,

$$\beq\TextCenter
b_n&=&\sumk{0}\binom{n}{k}(-1)^kS^{n-k}a_n\\[5pt]
&=&(S-1)^na_n
\eeq$$

即ち
$$\TextCenterb_k=(S-1)^ka_k=S^{n-k}(S-1)^ka_n$$
と分かります.

従って,

$$\beq\TextCenter
\sumk{0}(-1)^k\binom{n}{k}b_k&=&\sumk{0}\binom{n}{k}S^{n-k}(1-S)^ka_n\\[5pt]
&=&(S+1-S)^na_n\\[5pt]
&=&a_n

\eeq$$

示すことができました.

読んで下さった方, ありがとうございました.

${}$


ある等式の証明

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