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大学数学基礎解説
ある等式の証明
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$$\newcommand{a}[0]{\alpha}
\newcommand{asn}[0]{\hspace{16pt}(\mathrm{as}\ n\to\infty)}
\newcommand{b}[0]{\beta}
\newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{c}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}_{#2}}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{cb}[0]{\binom{2n}{n}}
\newcommand{ds}[0]{\displaystyle}
\newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray*}}
\newcommand{G}[1]{\Gamma({#1})}
\newcommand{g}[0]{\gamma}
\newcommand{hp}[0]{\dfrac{\pi}2}
\newcommand{I}[0]{\mathrm{I}}
\newcommand{l}[0]{\ell}
\newcommand{limn}[0]{\lim_{n\to\infty}}
\newcommand{limx}[0]{\lim_{x\to\infty}}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{nck}[0]{\binom{n}{k}}
\newcommand{p}[0]{\varphi}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{space}[0]{\hspace{12pt}}
\newcommand{sumk}[1]{\sum_{k={#1}}^n}
\newcommand{sumn}[1]{\sum_{n={#1}}^\infty}
\newcommand{t}[0]{\theta}
\newcommand{tc}[0]{\TextCenter}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
${}$
この記事では, 以下の等式を証明しようと思います.
$$ b_n=\sumk{0}(-1)^k\binom{n}{k}a_k\ \Leftrightarrow\ a_n=\sumk{0}(-1)^k\binom{n}{k}b_k$$
色々な証明ができそうですが, 今回はこのような証明を考えてみました.
(証明)
シフト作用素$S$を
$$ Sa_n=a_{n-1}$$
として定めます.
すると, $a_k=S^{n-k}a_n$なので,
$$\beq b_n&=&\sumk{0}\binom{n}{k}(-1)^kS^{n-k}a_n\\[5pt] &=&(S-1)^na_n \eeq$$
即ち
$$b_k=(S-1)^ka_k=S^{n-k}(S-1)^ka_n$$
と分かります.
従って,
$$\beq \sumk{0}(-1)^k\binom{n}{k}b_k&=&\sumk{0}\binom{n}{k}S^{n-k}(1-S)^ka_n\\[5pt] &=&(S+1-S)^na_n\\[5pt] &=&a_n \eeq$$
示すことができました.
読んで下さった方, ありがとうございました.
${}$
投稿日：2021年2月28日
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