二進対数の近似 ～55^90 vs 99!～

ますらば公式(@mathlava)のツイートに、こんな問題がありました。

55⁹⁰と99!どちらが大きい？
元ツイート

この記事では、この問題を底を$2$とする対数(二進対数)によって解くことにします。

観察

テーブルの上に糸をぴんと張ってみてください。長さは、糸を指ではじいたときにドの音が鳴るようにしてください。指が痛くなるようだったらギターのピックで代用してもらって構いません。

次に、糸の端から全体の長さの$\frac{8}{9}$のところを押さえてもう一度音を鳴らしてみてください。レの音が聞こえるはずです。

同じように、$\frac{8}{8},\frac{8}{9},\frac{8}{10},\frac{8}{11},\cdots ,\frac{8}{16}$の長さで鳴らすと、

ド　レ　ミ　ファｷ　ソ　ラd　シdb　シ　ド

という音階が聞こえるはずです。「ｷ」は半音までじゃないけど少し高い、「d」は半音までじゃないけど少し低い音を表します。

長音階や短音階より音が1つ多いのが気持ち悪いかもしれませんが、ラとシの間にもう1音入っているのだと思ってください。

数値計算

Wolfram|Alpha先生によると、 ${55}^{90}$の方が$2$オクターブほど大きいようです 。

解法

$3,5,7,11$の二進対数を近似し、それでもって大小を比較します。二進対数は、分母を$12$、分子を小数以下$2$桁の小数にして比較します。本当は分母は53がよかったけど計算がめんどくさい

$2$冪に関する基本性質

$0<x<\frac{1}{4}$のとき、$2^0=1,\sqrt{\sqrt{2}}<1+\frac{0.8}{4}=1.2$と$y=2^x$が下に凸であることから、$2^x<1+0.8x$が従います。また、

$$\begin{array}{rl}1.25\cdot 1.25\cdot 2& =3.125\\ 1.25\cdot 1.25\cdot 2& >e\\ 2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^1& >e\\ 2^{\frac{5}{3}}& >e\\ e^{\frac{3}{5}}& <2\\ \ln 2& <0.6\end{array}$$

であるから、

$$0<x<1のとき1+0.6x<2^x<1+0.8x$$
が言えます。同様に、
$$-1<x<0のとき1+0.8x<2^x<1+0.6x$$
が言えます。

近似

${\log }_{2}3$

$$2^{19}=524288<3^{12}=531441<2^{19}(1+0.02)<2^{19+0.034}<2^{19+0.04}$$
なので
$$\frac{19}{12}<{\log }_{2}3<\frac{19.04}{12}$$
です。

${\log }_{2}5$

$$2^{14}(1-0.05)=16384-819.2=15564.8<15625$$
$$2^{14}(1-0.045)=15564.8+81.92>15625$$
であるから
$$2^{14}(1-0.05)<5^6=15625<2^{14}(1-0.045)$$
$$2^{28-0.17}<2^{28}(1-0.1)<2^{28}(1-0.05{)}^2<5^{12}<2^{28}(1-0.045{)}^2=2^{28}(1-0.088)<2^{28-0.0704}$$
なので
$$\frac{27.83}{12}<{\log }_{2}5<\frac{27.93}{12}$$
です。

${\log }_{2}7$

$$2^{14}=16384<7^5=16807<2^{14}(1+0.03)$$
なので
$$\frac{14}{5}=\frac{33.6}{12}<{\log }_{2}7<\frac{14.05}{5}=\frac{33.72}{12}$$
です。

${\log }_{2}11$

$$120=2^3\cdot 3\cdot 5$$
であるから
$$\frac{82.83}{12}<{\log }_{2}120<\frac{82.97}{12}$$
です。したがって、
$$2^{\frac{82.83}{12}+0.01}<120(1+0.008)<121<120(1+0.009)<2^{\frac{82.97}{12}+0.015}$$
なので
$$\begin{array}{rlrlrl}& \frac{82.95}{12}& <& {\log }_{2}121& <& \frac{83.15}{12}\\ & \frac{41.48}{12}& <& {\log }_{2}11& <& \frac{41.58}{12}\end{array}$$
です。

比較

${55}^{90}$

${55}^{90}$の方は容易です。

$55=5\cdot 11$なので、
$$\frac{69.31}{12}<{\log }_{2}55<\frac{69.52}{12}$$
です。

したがって、両辺を$90$倍して、
$$\frac{6237.90}{12}<{\log }_2\left({55}^{90}\right)<\frac{6256.80}{12}$$
です。

$99!$

まず$1$から$99$まで数を並べました(なぜか$TEX$の表がこのサイトで出力されないので画像で代用しました):

数を並べる

これを上から抑えるために、各数を「その数以上で、$2,3,5,7,11$のみを素因数に持つ数」で置き換えました。変化した数を赤で示しました:

$2,3,5,7,11$のみを素因数に持つ数で置き換える

各数を素因数分解すると、次のようになります:

素因数分解

この素因数の指数をそれぞれ全部足すと、こうなります:

$$2^{173}\cdot 3^{81}\cdot 5^{38}\cdot 7^{28}\cdot {11}^{15}$$

これを近似の節で求めた不等式で上から抑えると

$$2^{173}\cdot 3^{81}\cdot 5^{38}\cdot 7^{28}\cdot {11}^{15}<2^{173+81\cdot \frac{19.04}{12}+38\cdot \frac{27.93}{12}+28\cdot \frac{33.72}{12}+15\cdot \frac{41.58}{12}}=2^{\frac{6247.44}{12}}$$

さらなる近似

指数がもう1つ小さくなってくれればいいので、赤い文字を黒に戻していきましょう。$\frac{赤い数字}{本来の数字}$を下から抑えて、その指数を$2^{\frac{6247.44}{12}}$から引いていきます。分子が$6237.90$よりも小さくなったら成功です。

14

$$\frac{14}{13}=1+\frac{1}{13}>2^{\frac{1}{13\cdot 0.8}}>2^{\frac{1.1}{12}}$$

残り$6246.34$

18

$$\frac{18}{17}=1+\frac{1}{17}>2^{\frac{1}{17\cdot 0.8}}>2^{\frac{0.8}{12}}$$

残り$6245.54$

20

$$\frac{20}{19}=1+\frac{1}{19}>2^{\frac{1}{19\cdot 0.8}}>2^{\frac{0.7}{12}}$$

残り$6244.84$

24

$$\frac{24}{23}=1+\frac{1}{23}>2^{\frac{1}{23\cdot 0.8}}>2^{\frac{0.6}{12}}$$

残り$6244.24$

27,30

$a\le 30$とすると、$(a-1)\cdot 0.8<24=\frac{12}{0.5}$が成り立ちます。
$$\frac{a}{a-1}=1+\frac{1}{a-1}>2^{\frac{1}{(a-1)\cdot 0.8}}>2^{\frac{0.5}{12}}$$

残り$6243.24$

32,35

$a\le 38$とすると、$(a-1)\cdot 0.8<30=\frac{12}{0.5}$が成り立ちます。
$$\frac{a}{a-1}=1+\frac{1}{a-1}>2^{\frac{1}{(a-1)\cdot 0.8}}>2^{\frac{0.4}{12}}$$

残り$6242.44$

40

$40$は$3$個あるので、まとめて下から抑えます。
$$\begin{array}{rl}& \frac{40}{37}\cdot \frac{40}{38}\cdot \frac{40}{39}\\ =& (1+\frac{3}{37})(1+\frac{2}{38})(1+\frac{1}{39})\\ >& (1+\frac{3}{39})(1+\frac{2}{39})(1+\frac{1}{39})\\ >& 1+\frac{6}{39}\\ =& 1+\frac{1}{6.5}\\ >& 2^{\frac{1}{6.5\cdot 0.8}}\\ >& 2^{\frac{2.3}{12}}\end{array}$$

残り$6240.14$

42,44

$a\le 50$とすると、$(a-1)\cdot 0.8<40=\frac{12}{0.3}$が成り立ちます。
$$\frac{a}{a-1}=1+\frac{1}{a-1}>2^{\frac{1}{(a-1)\cdot 0.8}}>2^{\frac{0.3}{12}}$$

残り$6239.54$

48

$48$は$2$個あるので、まとめて下から抑えます。
$$\begin{array}{rl}& \frac{48}{46}\cdot \frac{48}{47}\\ =& (1+\frac{2}{46})(1+\frac{1}{47})\\ >& (1+\frac{2}{47})(1+\frac{1}{47})\\ >& 1+\frac{3}{47}\\ >& 1+\frac{1}{16}\\ >& 2^{\frac{1}{16\cdot 0.8}}\\ >& 2^{\frac{1.1}{12}}\end{array}$$

残り$6238.44$

54

$54$は$3$個あるので、まとめて下から抑えます。
$$\begin{array}{rl}& \frac{54}{51}\cdot \frac{54}{52}\cdot \frac{54}{53}\\ =& (1+\frac{3}{51})(1+\frac{2}{52})(1+\frac{1}{53})\\ >& (1+\frac{3}{53})(1+\frac{2}{53})(1+\frac{1}{53})\\ >& 1+\frac{6}{53}\\ >& 1+\frac{1}{9}\\ >& 2^{\frac{1}{9\cdot 0.8}}\\ >& 2^{\frac{1.6}{12}}\end{array}$$

残り$6236.84$

これで$6237.90$を下回ったので、

$${55}^{90}>99!$$

が示されました。