整数問題 20210225　解答例

前提知識 : 原始 Pythagoras 数の一般形.
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問題

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解

次の定理を用いる.

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$(1)$

上記三つの条件を充たすような正の整数の対$(a,b)$が存在することを仮定して, それをそのまま$(a,b)$と書く. $a$と$b$が互いに素であることに着目する. $a$は奇数であるから, ここに定理を適用すれば
$$ \begin{align} \left( \begin{array}{l} a=u^2-v^2\\ b=2uv\\ a=x^2-y^2\\ 2b=2xy\\ u>v>0\ \mathrm{et}\ x>y>0\\ \gcd(u,v)=\gcd(x,y)=1\\ u\not\equiv v\ \mathrm{et}\ x\not\equiv y\ \ (\mathrm{mod}.2) \end{array} \right. \end{align} $$の全てを充たす整数の組$(u,v,x,y)$の存在が判る. これより, $b$についての二つの式を合わせて得られる関係式
$$ \begin{align} (*)\quad2uv=xy \end{align} $$を整除の視点から観るのであるが, そのためには, $x$と$y$の偶奇で場合を分けておくべきである.

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$(\mathrm{I})$　$x$が偶数かつ$y$が奇数の場合.

このとき$x/2$は整数であるため, $(*)$の式を$uv=(x/2)y$と変形して,
$$ \begin{align} \left( \begin{array}{l} uv=(x/2)y=pqrs\\ u=pq\\ v=rs\\ x/2=pr\\ y=qs\\ \gcd(p,q)=\gcd(p,r)=\gcd(p,s)=\gcd(q,r)=\gcd(q,s)=\gcd(r,s)=1 \end{array} \right. \end{align} $$と分解することができる. これらを, $a$についての二つの式を合わせて得られる等式$u^2-v^2=x^2-y^2$に代入すると
$$ \begin{align} q^2(p^2+s^2)=r^2(4p^2+s^2) \end{align} $$となるので, この等式において整除関係を考える. $q^2$と$r^2$は互いに素であり, かつ
$$ \begin{align} \gcd(p^2+s^2,4p^2+s^2)&=\gcd(p^2+s^2,3p^2)\\ &=\gcd(p^2+s^2,p^2)\\ &=\gcd(s^2,p^2)=1 \end{align} $$がなりたつため, 結果
$$ \begin{align} &q^2(p^2+s^2)=r^2(4p^2+s^2)\\ \Longleftrightarrow\;&q^2=4p^2+s^2\ \mathrm{et}\ p^2+s^2=r^2 \end{align} $$と進めることができる. 故に$(s,p)$もまた条件三を充たす正の整数の対であることが判った. 加えて, $y$が奇数であるという仮定と分解の式$y=qs$から$s$は奇数であり, これらは互いに素であるため, この対は三つの条件の全てを充たす. 加えて, $p$の値を$b$と比べれば
$$ \begin{align} p\leqslant pr=x/2< xy=b \end{align} $$と小さくなっている点にも留意しておく.

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$(\mathrm{II})$　$x$が奇数かつ$y$が偶数の場合.

このとき$y/2$は整数であるため, $(*)$の式を$uv=x(y/2)$と変形して,
$$ \begin{align} \left( \begin{array}{l} uv=x(y/2)=p'q'r's'\\ u=p'q'\\ v=r's'\\ x=p'r'\\ y/2=q's'\\ \gcd(p',q')=\gcd(p',r')=\gcd(p',s')=\gcd(q',r')=\gcd(q',s')=\gcd(r',s')=1 \end{array} \right. \end{align} $$と分解することができる. これらを, $a$についての二つの式を合わせて得られる等式$u^2-v^2=x^2-y^2$に代入すると
$$ \begin{align} q'^2(p'^2+4s'^2)=r'^2(p'^2+s'^2) \end{align} $$となるので, この等式において整除関係を考える. $q'^2$と$r'^2$は互いに素であり, かつ
$$ \begin{align} \gcd(p'^2+4s'^2,p'^2+s'^2)&=\gcd(3s'^2,p'^2+s'^2)\\ &=\gcd(s'^2,p'^2+s'^2)\\ &=\gcd(s'^2,p'^2)=1 \end{align} $$がなりたつため, 結果
$$ \begin{align} &q'^2(p'^2+4s'^2)=r'^2(p'^2+s'^2)\\ \Longleftrightarrow\;&q'^2=p'^2+s'^2\ \mathrm{et}\ p'^2+4s'^2=r'^2 \end{align} $$と進めることができる. 故に$(p',s')$もまた条件三を充たす正の整数の対であることが判った. 加えて, $x$が奇数であるという仮定と分解の式$x=p'r'$から$p'$は奇数であり, これらは互いに素であるため, この対は三つの条件の全てを充たす. 加えて, $s'$の値を$b$と比べれば
$$ \begin{align} s'\leqslant q's'=y\leqslant y^2< xy=b \end{align} $$と小さくなっている点にも留意しておく.

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何れの場合においても, 三つの条件の解$(a,b)$から第二の成分のより小さな解$(a',b')$を構成することができた. ところがこのような構成が
$$ \begin{align} (a,b)\longmapsto(a',b')\longmapsto\cdots \end{align} $$と無限に繰りかえせるということは, 三つの条件を充たす正の整数の対であって, 第二の成分が幾ら小さなものでも存在しうるということである. これは正の整数の集合の性質に反するものであり, 初めの$(a,b)$の存在仮定は偽であったと判る. $\quad\Box$

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$(2)$

条件三を充たす正の整数の対$(a,b)$の存在を仮定して矛盾を示す.

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$(\mathrm{I})$　$a$と$b$が互いに素かつ$a$が奇数の場合.

対$(a,b)$が三つの条件全てに従うことになり, $(1)$での結果に矛盾する.

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$(\mathrm{II})$　$a$と$b$が互いに素かつ$a$が偶数の場合.

この場合, $4(a/2)^2+b^2$と$(a/2)^2+b^2$は共に平方数であり, 対$(b,a/2)$が三つの条件全てに従うことになって, $(1)$での結果に矛盾する.

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$(\mathrm{III})$　$a$と$b$が互いに素でない場合.

$d=\gcd(a,b)$と書くと, 対$(a/d,b/d)$が条件二と条件三に従うことになり, $(1),\ $$(2)(\mathrm{I}),\ $$(2)(\mathrm{II})$での結果に矛盾する.

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何れの場合にも矛盾が有ることが判ったため, 証明は完了した. $\quad\Box$

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