無理数角を単位円周上でぐるぐる回したら単位円を隙間なく埋め尽くすのか？

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次のような定理を証明してみました．

$θ$ を， $2 π$ の無理数倍であるような角とする．
また，座標平面上の点 $(1, 0)$ を $p_{0}$ と名付ける．
$p_{0}$ を，原点 $O$ を中心に角度 $n θ (n \in Z)$ だけ回転させた点を $p_{n}$ とする．このとき，集合
$A = {. . ., p_{- 1}, p_{0}, p_{1}, p_{2}, . . .}$
は単位円周上において稠密である．
言い換えれば， $A$ の点を含まないような単位円周上の区間は存在しない．

今，円周上で距離 $l$ だけ離れた $A$ の2点 $p_{n}, p_{n + k} (n, k \in Z)$ を考える． $p_{n + k}$ は， $p_{n}$ を原点中心に角度 $k θ$ だけ回転させた点である．また， $p_{n + 2 k}$ という点を考えると，これは $p_{n + k}$ をさらに原点中心に $k θ$ だけ回転させた点である．従って， $p_{n + 2 k}$ は $p_{n + k}$ から $p_{n}$ とは反対の方向に距離 $l$ だけ進んだ点である． $p_{n + 3 k}, p_{n + 4 k}, . . .$ についても同様である．

こうして，集合
$B = {p_{n}, p_{n + k}, p_{n + 2 k}, . . ., p_{n + m k}}$
で， $B$ の全ての隣り合う点の間隔が $l$ 以下となるものが取れる． $B$ は $A$ の部分集合だから，このとき単位円周上で $A$ の点を含まない区間の長さは（もしそのような区間があればだが）常に $l$ 以下である．従って，このような $l$ の下限が $0$ ，つまり $l$ をいくらでも $0$ に近く取ることができるのであれば，そのような区間は存在しないことが言えるのである．

仮に，上のような $l$ が常にある正の定数 $ϵ$ 以上だとしよう．つまり， $A$ の異なる2点を取ったとき，それらの円周上での距離が常に $ϵ$ 以上であるとする（このような状況を，「 $A$ は離散集合である」と表現する）．このとき正の偏角をもつ $A$ の点の中で偏角最小なる点を $p_{s}$ とする（これは離散性の仮定があるから存在するのである）．然らば $p_{0}$ と $p_{s}$ の間の距離 $l$ が， $A$ の異なる２点間の距離の最小値である．

よって $A$ のとなりあう２点間の距離は全て $l$ であり， $A$ の点は円周上で等間隔に並ぶ．このとき明らかに $θ$ のある整数倍が $2 π$ の整数倍になっており，従って $θ$ は $2 π$ の有理数倍となり仮定に反する．よって $A$ が離散集合であるという仮定が誤りであり， $A$ の異なる２点間の距離の下限は $0$ である．故に，単位円周上で $A$ の点を含まないような区間は存在しない，すなわち $A$ は単位円周上において稠密である． $◻$

投稿日：2021年3月1日

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投稿者

YouTakaoka