ガンマ関数についての予想

少し前に立てた予想について, 書きたいと思います.

どういう経緯でこの予想に至ったかというと, まず留数定理から, 予想の条件のもとで, $s=0$の場合
$$\begin{array}{r}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{i\beta x}}{x-\alpha }dx=e^{i\alpha \beta }\end{array}$$
が成立します. この両辺を$\alpha$について, $n$階微分することにより,

$$\begin{array}{r}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{i\beta x}}{(x-\alpha {)}^{n+1}}dx=\frac{(i\beta {)}^n}{n!}{e}^{i\alpha \beta }\end{array}$$
となって, 予想は$s=-n$の場合に成立します. これを見て, なんとなくガンマ関数的な印象を受けたので, $n$を連続変数にしてみると, なかなかいい感じにまとまりました. $x-\alpha$の位数が整数階ではないので, 留数定理が使えないような気がして, なかなか難しそうです. あってるかどうかについてはそれほど確信がありませんが, 何かいい感じの方法があれば教えて下さい.