昔作った問題(整数・数列の問題編)

※解答を載せる予定はありません

素数編

問題1

以下の条件を満たす双子素数 $(p,q)$ の組を全て求めよ.
$$\mathrm{\exists }n\in \mathbf{N},n^p+n^q-1\text{が素数}$$

問題2

$n$ は正整数, $p$ は素数とする. $n!$ の $p$進表記で 一の位から連続して並ぶ $0$ の数は, $n$ を $p-1$ で割った商以下であることを示せ.

数列編

問題1

$$\sum _{k=1}^n(k^2+1)k!$$

問題2

次の漸化式と $a_1,a_2$ で規定される非負整数の数列 $a_n$ を考える.
$$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$$
次の極限を調べよ. 必要であれば $a_1,a_2$ を用いて良い.
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{a_k}{n}$$