積分botさんの積分解説1 ∫[0,1](1/(1-x))log(2/(1+x^2))dx

この記事では, 積分botさんがツイートされていた, 以下の積分を証明したいと思います.

(証明)

部分積分をします. $x\to 1$で ${\displaystyle \ln \frac{2}{1+x^2}=O(x-1)}$ であることに注意して,

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^1\frac{1}{1-x}\ln \frac{2}{1+x^2}dx& =& {[-\ln (1-x)\ln \frac{2}{1+x^2}]}_0^1\\ & & -{\int }_0^1\frac{2x}{1+x^2}\ln (1-x)dx\\ & =& -{\int }_0^1\frac{2x}{1+x^2}\ln (1-x)dx\end{array}$$
となります.

$$I(a)={\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}\ln (1-ax)dx$$
とおきます. $I(1)$を求めます.

$$\begin{array}{rcl}{I}^{\prime }(a)& =& -{\int }_0^1\frac{x^2}{(1+x^2)(1-ax)}dx\\ & =& -\frac{1}{1+a^2}{\int }_0^1(-\frac{1+ax}{1+x^2}+\frac{1}{1-ax})dx\\ & =& \frac{1}{1+a^2}(\frac{\pi }{4}-\frac{a}{2}\ln 2+\frac{1}{a}\ln (1-a))\end{array}$$
となります. $I(0)=0$なので,

$$\begin{array}{rcl}I(1)& =& {\int }_0^1\frac{x\ln (1-x)}{1+x^2}dx\\ & =& {\int }_0^1\frac{1}{1+a^2}(\frac{\pi }{4}-\frac{a}{2}\ln 2+\frac{1}{a}\ln (1-a))da\\ & =& \frac{{\pi }^2}{16}-\frac{{\ln }^{2}2}{4}+{\int }_0^1\frac{\ln (1-x)}{x(1+x^2)}dx\end{array}$$

ところがここで

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^1\frac{x\ln (1-x)}{1+x^2}dx+{\int }_0^1\frac{\ln (1-x)}{x(1+x^2)}dx\\ & =& {\int }_0^1\frac{\ln (1-x)}{x}dx\\ & =& -\frac{{\pi }^2}{6}\end{array}$$
が成り立ちます.

以上の2式で, この2つの積分の和と差が分かったので, $I(1)$を求めることができ, 題意の積分も求めることができました.
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読んでくれた方, ありがとうございました.
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