積分botさんの積分解説1 ∫[0,1](1/(1-x))log(2/(1+x^2))dx
この記事では, 積分botさんがツイートされていた, 以下の積分を証明したいと思います.
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(証明)
部分積分をします. $x\to1$で $\ds\ln\frac{2}{1+x^2}=O(x-1)$ であることに注意して,
$$\beq
\int_0^1\frac{1}{1-x}\ln\frac{2}{1+x^2}\,dx&=&\left[-\ln(1-x)\ln\frac{2}{1+x^2}\right]_0^1\\[5pt]
&&\space -\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\ln(1-x)\,dx\\[5pt]
&=&-\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\ln(1-x)\,dx
\eeq$$
となります.
$$ I(a)=\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\ln(1-ax)\,dx$$
とおきます. $I(1)$を求めます.
$$\beq
I'(a)&=&-\int_0^1\frac{x^2}{(1+x^2)(1-ax)}\,dx\\[5pt]
&=&-\frac1{1+a^2}\int_0^1\left(-\frac{1+ax}{1+x^2}+\frac{1}{1-ax}\right)\,dx\\[5pt]
&=&\frac1{1+a^2}\left(\frac\pi4-\frac{a}2\ln2+\frac1a\ln(1-a)\right)
\eeq$$
となります. $I(0)=0$なので,
$$\beq I(1)&=&\int_0^1\frac{x\ln(1-x)}{1+x^2}\,dx\\[5pt] &=&\int_0^1\frac1{1+a^2}\left(\frac\pi4-\frac{a}2\ln2+\frac1a\ln(1-a)\right)\,da\\[5pt] &=&\frac{\pi^2}{16}-\frac{\ln^22}{4}+\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{x(1+x^2)}\,dx \eeq$$
ところがここで
$$\beq
&&\int_0^1\frac{x\ln(1-x)}{1+x^2}\,dx+\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{x(1+x^2)}\,dx\\[5pt]
&=&\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{x}\,dx\\[5pt]
&=&-\frac{\pi^2}{6}
\eeq$$
が成り立ちます.
以上の2式で, この2つの積分の和と差が分かったので, $I(1)$を求めることができ, 題意の積分も求めることができました.
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読んでくれた方, ありがとうございました.
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