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大学数学基礎解説
文献あり

ジョルダン標準形の存在と一意性

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以下に述べるのは私が十数年前に Wikipedia に書いた、ジョルダン基底の存在証明に一意性の証明を加えたものです。具体的な計算のアルゴリズムについては後日書くつもりです。

ジョルダン基底

V を体 K 上の n 次元ベクトル空間、fV の線形変換として、V の基底 {ei j| i=1,,k ; j=1,,si}fジョルダン基底とは
f(ei j)=λiei j+ei j1, ei 0=0,
を満たすことと定義します。この時当然 i=1ksi=n です。

ジョルダン基底の存在

f の固有値が全て K に属していれば、f のジョルダン基底が存在する。

証明のアイデアはFilippovによるもので (G.ストラング「線形代数とその応用」 付録B、産業図書、1978.) 次のほとんど自明な補題を用いた帰納法で行います。

Filippov?

{ei j}f のジョルダン基底なら fλ1V のジョルダン基底でもある。

実際 f(ei j)=λiei j+ei j1 なら(fλ1V)(ei j)=(λiλ) ei j+ei j1 だから λi の値が変わるだけです。

この補題により、必要なら f の一つの固有値 λ に対し fλ1V を考えて、rank f=r<n の時にジョルダン基底が存在することを示せば良いことになります。

 定理の証明:  n=1 なら全ての基底がジョルダン基底です。次元が n1 以下のベクトル空間の線形変換に対してはジョルダン基底が存在することを仮定して、dimV=n として fVrank f=r<n である線形変換として、f のジョルダン基底が作れることを示します。
V=Im f として f=f|V ( f V) とすると、fV の線形変換で dimV=r<n なので帰納法の仮定により f のジョルダン基底 {ei j| i=1,2,,k ; j=1,2,,si} が存在します。この時 i=1ksi=r です。
番号を取り替えて、λ1=λ2==λt=0i>t なら λi0 とします。
この時、e1 1,e2 1,,et 1Ker f の一次独立なベクトルで、dimKer f=nr なので、nrt 個のベクトル u1,u2,,unrt を付け加えて Ker f の基底を作ります。
また Vt 個のベクトル v1,v2,,vtf(vi)=ei si となるように取ります。
この時 n 個のベクトル
{u1,u2,,unrt,v1,v2,,vt,{ei j|i=1,2,,k;j=1,2,,si} } は一次独立で Vの基底となることがわかります。実際、
aiui+bivi+ci jei j=0
として、これに f を作用させると、
i=1tbiei ni+i=1tj=1si1ci j+1ei j+i=t+1kj=1si(ci jλi+ci j+1)ei j=0,  ci si+1=0.
となり、{ei j}V の基であることより、 it,j2 に対し bi=0,ci j=0 、で i>t,jsi に対しては ci jλi+ci j+1=0 ですが、λi0, ci si+1=0 より上から順に ci si=0,ci si1=0,,ci 1=0 がわかります。従って元の式は、
i=1nrtaiui+i =1tci 1ei 1=0
となり、{ui,ei 1}Ker f の基であることより、 a1=a2==anrt=c11=c21==ct1=0 がわかり一次独立性が証明できました。
こうして得られた V の基底は ui=ei si+1, vi=ek+i1 と番号づけることにより f のジョルダン基底となっています。 証明終わり

{ei j| i=1,2,,k ; j=1,2,,si}f のジョルダン基底、λ を一つの固有値として{ei j| j=1,2,,si}は、λi=λ の時、大きさsiλ-系列と呼ぶことにし、大きさ mλ-系列の数をkmと定義します。
ジョルダン基底のベクトル ei j が、ある λ-系列に属する必要十分条件は、
(fλ1V)(ei j)=ei j1, ei 0=0 
で、属さない時は
(fλ1V)(ei j)=(λiλ)ei j+ei j1, λiλ0
となります。従って各 λ-系列の先頭のベクトルの集合{ei 1}Ker (fλ1V)の基底となるので、
k1+k2++kn=dimKer (fλ1V)
となり、また {ei j| j2}Ker (fλ1V)2 の基となり、
k1+2(k2+k3++kn)=dimKer (fλ1V)2.
さらに一般に、{ei j| jm}Ker (fλ1V)m の基なので、
k1+2k2++(m1)km1+m (km+km+1++kn)=dimKer(fλ1V)m
となります。従って、
km+km+1++kn=dimKer(fλ1V)mdimKer(fλ1V)m1
で、この式より、
km+(dimKer(fλ1V)m+1dimKer(fλ1V)m)=dimKer(fλ1V)mdimKer(fλ1V)m1
となり、これより次の定理が成り立ちます。

ジョルダン標準形の一意性

f のジョルダン標準形では、対角要素が λ で次数が m であるジョルダン細胞の数は次で与えられる。
2dimKer (fλ1V)mdimKer (fλ1V)m1dimKer (fλ1V)m+1.
=rank (fλ1V)m1+rank (fλ1V)m+12 rank (fλ1V)m.

以上より f のジョルダン標準形は存在し、その『形』は、ジョルダン基底の選び方によらず、f によって定まることが証明できました。f が具体的に行列 A で与えられた時、ジョルダン基底すなわち変換行列をどのようにして求めるかについては次回述べるつもりです。

参考文献

[1]
G.ストラング, 線形代数とその応用, 産業図書, 1978, 付録B
投稿日:202133
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hdkim
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