文献あり

フーリエ級数展開からフーリエ変換まで

1808

はじめに

　この記事ではフーリエ級数展開およびにフーリエ変換の周辺知識とその正当性を示していきます。
　まずフーリエ級数展開とフーリエ変換とは以下の公式のことを言うのでした。

フーリエ級数展開

　 $R$ 上区分的に滑らかな周期 $T$ の関数 $f$ に対して
$\begin{array}{rcl} \frac{f (x + 0) + f (x - 0)}{2} & = & \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (\frac{2 π n x}{T}) + b_{n} \sin (\frac{2 π n x}{T})) \\ = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} \exp (\frac{2 π i n x}{T}) \end{array}$
が成り立つ。この右辺のことを $f$ のフーリエ級数という。
　ただし
$f (x \pm 0) = lim_{h \to 0^{\pm}} f (x + h)$
および
$\begin{aligned} a_{n} & = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) \cos (\frac{2 π n t}{T}) d t \\ b_{n} & = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) \sin (\frac{2 π n t}{T}) d t \\ c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) \exp (- \frac{2 π i n t}{T}) d t \end{aligned}$
とした。

フーリエ変換

$\int_{- \infty}^{\infty} | f (x) | d x < \infty$
なる関数 $f$ に対して
$\begin{aligned} f (x) & = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (y) e^{2 π i x y} d y \\ (\hat{f} (y) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- 2 π i x y} d x) \end{aligned}$
が成り立つ。この $\hat{f}$ のことを $f$ のフーリエ変換という。

直感的説明

　初等的な知識(高校数学程度)でフーリエ級数展開やフーリエ変換を学ぼうとすると大体は次のような説明を見ることになると思います。

フーリエ級数展開について

　三角関数の直交性
$\begin{aligned} \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} \cos (m x) \cos (n x) d x & = {\begin{array}{cl} 2 & m = n = 0 \\ 1 & m = n \neq 0 \\ 0 & m \neq n \end{array} \\ \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} \sin (m x) \sin (n x) d x & = {\begin{array}{cl} 1 & m = n \\ 0 & m \neq n \end{array} \\ \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} \cos (m x) \sin (n x) d x & = 0 \end{aligned}$
に注意して周期 $2 π$ の関数 $f$ におけるフーリエ級数展開の公式を $a_{n}$ の定義式に式に適用してみると
$\begin{array}{rcl} \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (t) \cos (n t) d t \\ = & \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} (\frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \cos (m t) + b_{m} \sin (m t))) \cos (n t) d t \\ = & \frac{a_{0}}{2 π} \int_{- π}^{π} \cos (n t) d t + \sum_{m = 1}^{\infty} (\frac{a_{n}}{π} \int_{- π}^{π} \cos (m t) \cos (n t) d t + \frac{b_{n}}{π} \int_{- π}^{π} \sin (m t) \cos (n t) d t) \\ = & a_{n} \end{array}$
と確かに $a_{n}$ が出てくることがわかります。 $b_{n}$ についても同様に
$\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (t) \sin (n t) d t = b_{n}$
となることがわかります。

　この説明では三角関数と直交するある関数が存在して
$f (x) = g (x) + \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n x) + b_{n} \sin (n x))$
という形で書けそうだということまではわかりますが、 $g (x)$ の部分が $0$ であるかどうかまではわかりません。

複素フーリエ級数展開について

$\cos x = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}, \sin x = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}$
に注意して周期 $2 π$ の関数 $f$ におけるフーリエ級数展開の公式を $e^{i n x}$ についてまとめると
$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n x) + b_{n} \sin (n x)) \\ = & \frac{a_{0}}{2} e^{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{a_{n} - i b_{n}}{2} e^{i n x} + \frac{a_{n} + i b_{n}}{2} e^{- i n x}) \\ = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x} \end{array}$
ただし
$\begin{aligned} c_{\pm n} & = \frac{a_{n} \mp i b_{n}}{2} \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) (\cos (n t) \mp i \sin (n t)) d t \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) e^{\mp i n t} d t \end{aligned}$
となることがわかります。

フーリエ変換について

　関数 $f$ に対して $f_{T}$ を
$\begin{aligned} f_{T} (x) & = f (x) (- \frac{T}{2} \leq x \leq \frac{T}{2}) \\ f_{T} (x + T) & = f_{T} (x) \end{aligned}$
によって定め、これについてフーリエ級数展開すると $f_{T}$ および $c_{n}$ の定義から
$\begin{array}{rcl} f_{T} (x) & = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{\frac{2 π i n x}{T}} \\ = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) e^{- \frac{2 π i n t}{T}} d t) e^{\frac{2 π i n x}{T}} \\ = & \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) e^{- \frac{2 π i n t}{T}} d t) e^{\frac{2 π i n x}{T}} \end{array}$
となり、この $T \to \infty$ 極限を考えてみると区分求積法より
$lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) e^{- \frac{2 π i n t}{T}} d t) e^{\frac{2 π i n x}{T}} = \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- 2 π i t y} d t) e^{2 π i x y} d y$
なので
$f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (y) e^{2 π i x y} d y$
ただし
$\hat{f} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- 2 π i t y} d t$
と表せることがわかります。

　この説明は直感的には納得はできそうですが
$lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) e^{- \frac{2 π i n t}{T}} d t) e^{\frac{2 π i n x}{T}} = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- \frac{2 π i n t}{T}} d t) e^{\frac{2 π i n x}{T}}$
と勝手に内側の積分範囲を $T \to \infty$ に飛ばしてしまっているところに問題があります。
　以下ではこれらの操作の正当性について説明していきます。

フーリエ級数展開について

各点収束性

リーマン・ルベーグの補題

　閉区間 $[a, b]$ 上区分的に連続な関数 $f$ について
$lim_{α \to \infty} \int_{a}^{b} f (x) \cos (α x) d x = lim_{α \to \infty} \int_{a}^{b} f (x) \sin (α x) d x = 0$
が成り立つ。

　任意に $ε > 0$ を取り、区間の分割
$a = x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n + 1} = b$
をそれぞれの区間 $(x_{k}, x_{k + 1})$ において $f (x)$ が連続であって、任意の $x \in (x_{k}, x_{k + 1})$ に対し $| f (x) - f (x_{k}) | < \frac{ε}{2 (b - a)}$
が成り立つように取る。
　また $[a, b]$ 上の $| f (x) |$ の最大値を $M$ とおくと、任意の $α > 4 M n / ε$ に対して
$\begin{array}{rcl} | \int_{a}^{b} f (x) \cos (α x) d x | & = & | \sum_{k = 1}^{n} (\int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} (f (x) - f (x_{k})) \cos (α x) d x + \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (x_{k}) \cos (α x) d x) | \\ \leq & \sum_{k = 1}^{n} (\int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} | f (x) - f (x_{k}) | \cdot | \cos (α x) | d x + | f (x_{k}) {[\frac{\sin (α x)}{α}]}_{x_{k}}^{x_{k + 1}} |) \\ < & \frac{ε}{2 (b - a)} \sum_{k = 1}^{n} \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} d x + \frac{M}{α} \sum_{k = 1}^{n} (| \sin (α x_{k + 1}) | + | \sin (α x_{k}) |) \\ \leq & \frac{ε}{2 (b - a)} (b - a) + \frac{ε}{4 n} \cdot 2 n = \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε \end{array}$
と評価できるので主張を得る。 $\sin (α x)$ についても同様である。

フーリエの収束定理

　 $R$ 上区分的に滑らかな周期 $T$ の関数 $f$ に対し
$\begin{array}{rcl} \frac{f (x + 0) + f (x - 0)}{2} & = & \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (\frac{2 π n x}{T}) + b_{n} \sin (\frac{2 π n x}{T})) \\ = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{\frac{2 π i n x}{T}} \end{array}$
が成り立つ(ただし各点収束)。なお $f (x \pm 0), a_{n}, b_{n}, c_{n}$ は冒頭で紹介した通りである。

　簡単のため $f (2 π x / T)$ を改めて $f (x)$ とおくことで周期 $2 π$ であるものとしてよい。
　まずフーリエ級数の部分和 $S_{n} (x)$ とディリクレ核 $D_{n} (x)$ を
$\begin{aligned} S_{n} (x) & = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \cos (k x) + b_{k} \sin (k x)) = \sum_{k = - n}^{n} c_{k} e^{i k x} \\ D_{n} (x) & = \frac{1}{2} + \sum_{k = 1}^{n} \cos (k x) = \frac{\sin ((n + \frac{1}{2}) x)}{\sin (\frac{1}{2} x)} \end{aligned}$
とおくと $a_{k}, b_{k}$ の定義から
$\begin{array}{rcl} S_{n} (x) & = & \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (y) (\frac{1}{2} + \sum_{k = 1}^{n} (\cos (k y) \cos (k x) + \sin (k y) \sin (k x))) d y \\ = & \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (y) (\frac{1}{2} + \sum_{k = 1}^{n} \cos (k (y - x))) d y \\ = & \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (y) D_{n} (y - x) d y \\ = & \frac{1}{π} \int_{- π - x}^{π - x} f (x + t) D_{n} (t) d t \\ = & \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x + t) D_{n} (t) d t \end{array}$
と変形できる。
　ここで
$g (t) = {\begin{array}{cr} \frac{f (x + t) - f (x + 0)}{2 \sin (\frac{1}{2} t)} & (0 \leq t < π) \\ \frac{f (x + t) - f (x - 0)}{2 \sin (\frac{1}{2} t)} & (- π < t < 0) \end{array}$
とおくと $f$ は区分的に滑らかとしていたので
$lim_{t \to 0^{\pm}} g (t) = lim_{t \to 0^{\pm}} \frac{f (x + t) - f (x \pm 0)}{t} \cdot \frac{t}{2 \sin (\frac{1}{2} t)} = f^{'} (x \pm 0)$
と $g$ は $t = 0$ で片側極限が存在し、したがって $g$ は $- π < t < π$ において区分的に連続となる。
　以上より
$\int_{0}^{π} D_{n} (t) d t = \int_{- π}^{0} D_{n} (t) d t = \frac{π}{2}$
に注意するとリーマン・ルベーグの補題から
$\begin{array}{rcl} S_{n} (x) - \frac{f (x + 0) + f (x - 0)}{2} \\ = & \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (t + x) D_{n} (t) d t - \frac{1}{π} \int_{0}^{π} f (x + 0) D_{n} (t) d t - \frac{1}{π} \int_{- π}^{0} f (x - 0) D_{n} (t) d t \\ = & \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} g (t) \sin ((n + \frac{1}{2}) t) d t \\ \to & 0 (n \to \infty) \end{array}$
を得る。

一様収束性

　フーリエの収束定理ではフーリエ級数が各点収束することを保証していますが実用的には一様収束が保証された方が嬉しいのでこの節では一様収束の十分条件を与えたいと思います。具体的には区分的に滑らかであることに加えて $R$ 上連続であれば十分であることがわかります。
　以下 $f$ は周期 $2 π$ の関数であるものとします。

ベッセルの不等式

　 $f$ が区分的に連続であればフーリエ係数
$c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) e^{- i n t} d t$
について
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} | c_{n} |^{2} \leq \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} | f (x) |^{2} d x$
が成り立つ。特に $f$ のフーリエ級数が一様収束するとき等号が成立し、その等式
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} | c_{n} |^{2} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} | f (x) |^{2} d x$
のことをパーセバルの等式という。

　指数関数の直交性
$\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} e^{i m t} e^{i n t} d t = {\begin{array}{cc} 1 & m = n \\ 0 & m \neq n \end{array}$
に注意すると
$\begin{array}{rcl} 0 & \leq & \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | f (x) - \sum_{k = - n}^{n} c_{k} e^{i k x} |^{2} d x \\ = & \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} (f (x) - \sum_{k = - n}^{n} c_{k} e^{i k x}) (\overset{―}{f (x)} - \sum_{k = - n}^{n} \overset{―}{c_{k}} e^{- i k x}) d x \\ = & \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \overset{―}{f (x)} d x - \sum_{k = - n}^{n} \frac{c_{k}}{2 π} \int_{- π}^{π} \overset{―}{f (x)} e^{i k x} d x - \sum_{k = - n}^{n} \frac{\overset{―}{c_{k}}}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- i k x} d x + \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} (\sum_{k = - n}^{n} c_{k} e^{i k x}) (\sum_{k = - n}^{n} \overset{―}{c_{k}} e^{- i k x}) d x \\ = & \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} | f (x) |^{2} d x - \sum_{k = - n}^{n} c_{k} \overset{―}{c_{k}} - \sum_{k = - n}^{n} \overset{―}{c_{k}} c_{k} + \sum_{k = - n}^{n} c_{k} \overset{―}{c_{k}} \\ = & \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} | f (x) |^{2} d x - \sum_{k = - n}^{n} | c_{k} |^{2} \end{array}$
が成り立つのでこれを $n \to \infty$ とすることで主張を得る。
　また $n \to \infty$ において不等式の等号が成立する、つまり一行目の積分が $0$ となるにはフーリエ級数が一様収束していれば十分である。

　 $f$ が $R$ 上連続かつ区分的に滑らかであればフーリエ級数は一様収束する。

　いま導関数 $f^{'}$ のフーリエ係数
$c_{n}^{'} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f^{'} (t) e^{- i n t} d t$
を考えると $f$ の連続性から
$\begin{array}{rcl} c_{n}^{'} & = & \frac{1}{2 π} {[f (t) e^{- i n t}]}_{- π}^{π} - \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) (- i n e^{- i n t}) d t \\ = & 0 + i n c_{n} \end{array}$
が成り立ち、また $f^{'}$ は区分的に連続であったのでベッセルの不等式から
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} n^{2} | c_{n} |^{2} = \sum_{- \infty}^{\infty} | c_{n}^{'} |^{2} \leq \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | f^{'} (x) | d x < \infty$
つまり $\sum_{n = - \infty}^{\infty} n^{2} | c_{n} |^{2}$ は収束することがわかる。
　いま相加平均相乗平均の不等式から
$| c_{n} | = \sqrt{n^{2} | c_{n} |^{2} \cdot \frac{1}{n^{2}}} \leq \frac{n^{2} | c_{n} |^{2}}{2} + \frac{1}{2 n^{2}}$
が成り立つことに注意すると
$\begin{array}{rcl} | \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x} | & \leq & \sum_{n = - \infty}^{\infty} | c_{n} | \\ \leq & | c_{0} | + \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} n^{2} | c_{n} |^{2} + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{2}} \\ = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} n^{2} | c_{n} |^{2} + \frac{π^{2}}{6} < \infty \end{array}$
とフーリエ級数が絶対一様収束することがわかる(cf. ワイエルシュトラスのMテスト)。

フーリエ変換について

　さて今問題になっているのは
$lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) e^{- \frac{2 π i n t}{T}} d t) e^{\frac{2 π i n x}{T}} = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- \frac{2 π i n t}{T}} d t) e^{\frac{2 π i n x}{T}}$
という操作の正当性なのでした。この操作は中の積分の $| t | > \frac{T}{2}$ における部分の寄与が十分に小さいことを示唆しています。
　とりあえず一般の $f$ に対してこの正当化を直接考えるのは大変なので十分大きい任意の $t$ に対して $f_{k} (t) = 0$ となる(つまりコンパクト台を持つ)ような $f$ に収束する適当な関数列 $f_{k}$ を持ってくることにしましょう。このとき十分大きい任意の $T$ に対し
$\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_{k} (t) e^{- \frac{2 π i n t}{T}} d t = \int_{- \infty}^{\infty} f_{k} (t) e^{- \frac{2 π i n t}{T}} d t$
が成り立つので上の操作が正当化でき
$\begin{aligned} f_{k} (x) & = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f_{k}} (y) e^{2 π i x y} d y \\ (\hat{f_{k}} (y) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{k} (t) e^{- 2 π i t y} d t) \end{aligned}$
が成り立つことになります。
　あとは適当な条件下で(優収束定理などから)
$| \hat{f} (y) - \hat{f_{k}} (y) | \leq \int_{- \infty}^{\infty} | f (t) - f_{k} (t) | d t \to 0 (k \to \infty)$
および
$| \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (y) e^{2 π i x y} d y - f_{k} (x) | \leq \int_{- \infty}^{\infty} | \hat{f} (t) - \hat{f_{k}} (t) | d t \to 0 (k \to \infty)$
が正当化できるので
$lim_{k \to \infty} f_{k} (x) = f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (y) e^{2 π i x y} d y$
が成り立つ。といった具合でしょうか。

余談

　最後の最後で「いい感じの関数列を持ってくる」という曖昧な表現になってしまいましたが、実際問題一般の関数 $f$ に対してフーリエ級数からフーリエ変換を導出する際に上に挙げた問題に言及しているサイトやテキストが見当たらなかったためこのような始末となっていしまいました(もしかすると私が気付いていないだけで実は簡単な事実なのでしょうか)。ただ $f$ の無限遠点における漸近的挙動に条件を付けた場合(例えば $f (x) = O (| x |^{- k})$ といった具合)においては厳密な議論をすることができるらしいです。

おまけ:ポアソン和公式

ポアソン和公式

　関数 $f (x)$ のフーリエ変換
$\hat{f} (s) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- 2 π i x s} d x$
について
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} f (x + n) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \hat{f} (n) e^{2 π i x}$
が成り立つ。

$F (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} f (x + n)$
とおくとこれは周期 $1$ の関数を定めるのでフーリエ級数展開
$F (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{2 π i n x}$
を考えることができ、このとき
$\begin{aligned} c_{n} & = \int_{0}^{1} F (x) e^{- 2 π i n x} d x \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{0}^{1} f (x + k) e^{- 2 π i n x} d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- 2 π i n x} d x \\ = \hat{f} (n) \end{aligned}$
と表せることから主張を得る。