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大学数学基礎解説
文献あり

フーリエ級数展開からフーリエ変換まで

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{Im}[0]{\mathrm{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\mathrm{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{ndiv}[0]{\nmid} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{prime}[0]{\mathrm{prime}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\mathrm{Re}} \newcommand{resp}[0]{\mathrm{resp}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

この記事ではフーリエ級数展開およびにフーリエ変換の周辺知識とその正当性を示していきます。
まずフーリエ級数展開とフーリエ変換とは以下の公式のことを言うのでした。

フーリエ級数展開

$\R$上区分的に滑らかな周期$T$の関数$f$について
\begin{eqnarray} \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} &=&\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos(\frac{2\pi nx}{T})+b_n\sin(\frac{2\pi nx}{T})) \\&=&\sum^\infty_{n=-\infty}c_ne^{\frac{2\pi inx}{T}} \end{eqnarray}
が成り立つ。この右辺のことを$f$のフーリエ級数という。
ただし
$\dis f(x\pm0)=\lim_{h\to0^{\pm}}f(x+h)$
および
$\dis a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac T2}_{-\frac{T}{2}}f(t)\cos(\frac{2\pi nt}{T})dt,\; b_n=\frac2T\int^{\frac T2}_{-\frac{T}{2}}f(t)\sin(\frac{2\pi nt}{T})dt$
$\dis c_n=\frac1T\int^{\frac T2}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-\frac{2\pi int}{T}}dt$
とした。

フーリエ変換

$\dis\int^\infty_{-\infty}|f(x)|dx<\infty$なる関数$f$について
$\dis f(x)=\int^\infty_{-\infty}\hat{f}(y)e^{2\pi ixy}dy\quad(\hat{f}(y)=\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{-2\pi ity}dt)$
が成り立つ。この$\hat{f}(y)$のことを$f$のフーリエ変換という。

直感的説明

初等的な知識(高校数学程度)でフーリエ級数展開やフーリエ変換を学ぼうとすると大体は次のような説明を見ることになると思います。

フーリエ級数展開について

以下のような三角関数の直交性
$\dis \frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx =\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx =\left\{\begin{array}{cl}1&m=n\\0&m\neq n\end{array}\right.$
$\dis \frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}\cos(mx)\sin(nx)dx=0$
に注意して周期$2\pi$の関数$f$におけるフーリエ級数展開の公式を$a_n$の定義式に式に適用してみると
\begin{eqnarray} &&\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)\cos(nt)dt \\&=&\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\Big(\frac{a_0}{2} +\sum^\infty_{m=1}(a_m\cos(mt)+b_m\sin(mt))\Big)\cos(nt)dt \\&=&\frac{a_0}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\cos(nt)dt +\sum^\infty_{m=1}(\frac{a_n}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\cos(mt)\cos(nt)dt +\frac{b_n}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\sin(mt)\cos(nt)dt) \\&=&a_n \end{eqnarray}
と確かに$a_n$が出てくることがわかります。$b_n$についても同様に
$\dis \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)\sin(nt)dt=b_n$
となることがわかります。

この説明からは
$\dis f(x)=g(x)+\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$
という形で書けそうだということまではわかりますが$g(x)$の部分が$0$であるかどうかまではわかりません。

複素フーリエ級数展開について

$\dis\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\;\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
に注意して周期$2\pi$の関数$f$におけるフーリエ級数展開の公式を$e^{inx}$についてまとめると
\begin{eqnarray} f(x)&=&\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) \\&=&\frac{a_0}{2}e^{0}+\sum^\infty_{n=1}(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx}) \\&=&\sum^\infty_{n=-\infty}c_ne^{inx} \end{eqnarray}
ただし$n\geq1$について
$\dis c_0=\frac{a_0}2=\frac{1}{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(t)dt =\frac{1}{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(t)e^0dt$
$\dis c_{\pm n}=\frac{a_n\mp ib_n}{2} =\frac{1}{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(t)(\cos(nt)\mp\sin(nt))dt =\frac{1}{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(t)e^{\mp int}dt$
つまり
$\dis c_n=\frac1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(t)e^{-int}dt$
となります。

フーリエ変換について

関数$f$に対して$f_T$$f_T(x)=f(x)\;(-\farc T2\leq x\leq \frac T2),\;f_T(x+T)=f_T(x)$で定め、これについてフーリエ級数展開すると$f_T$および$c_n$の定義から
\begin{eqnarray} f_T(x)&=&\sum^\infty_{n=-\infty}c_ne^{\frac{2\pi inx}{T}} \\&=&\sum^\infty_{n=-\infty}(\frac1T\int^{\frac T2}_{-\frac T2}f(t)e^{-\frac{2\pi int}{T}}dt)e^{\frac{2\pi inx}{T}} \\&=&\frac1T\sum^\infty_{n=-\infty}(\int^{\frac T2}_{-\frac T2}f(t)e^{-\frac{2\pi int}{T}}dt)e^{\frac{2\pi inx}{T}} \end{eqnarray}
となり、この$T\to\infty$極限を考えてみると区分求積法より
$\dis\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum^\infty_{n=-\infty} (\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{-\frac{2\pi int}{T}}dt)e^{\frac{2\pi inx}{T}} =\int^\infty_{-\infty}(\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{-2\pi ity}dt)e^{2\pi ixy}dy$
なので
$\dis f(x)=\int^\infty_{-\infty}\hat{f}(y)e^{2\pi ixy}dy$
ただし
$\dis\hat{f}(y)=\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{-2\pi ity}dt$
と表せれることがわかります。

この説明は直感的には納得はできそうですが
$\dis\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum^\infty_{n=-\infty}(\int^{\frac T2}_{-\frac T2}f(t)e^{-\frac{2\pi int}{T}}dt)e^{\frac{2\pi inx}{T}} =\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum^\infty_{n=-\infty} (\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{-\frac{2\pi int}{T}}dt)e^{\frac{2\pi inx}{T}}$
と勝手に内側の積分範囲を$T\to\infty$に飛ばしてしまっているところに問題があります。
以下ではこれらの操作の正当性を説明していきます。

フーリエ級数展開について

各点収束性

リーマン・ルベーグの補題

閉区間$[a,b]$上区分的に連続な関数$f$について
$\dis\lim_{\a\to\infty}\int^b_af(x)\cos(\a x)dx=\lim_{\a\to\infty}\int^b_af(x)\sin(\a x)dx=0$
が成り立つ。

任意に$\e>\e'>0$を取り、点列$a=x_1< x_2<\cdots< x_{n+1}=b$をそれぞれの区間$(x_k,x_{k+1})$において$f(x)$が連続であって任意の$x\in(x_k,x_{k+1})$$|f(x)-f(x_k)|<\frac{\e-\e'}{b-a}$が成り立つようにとる。また$[a,b]$上の$|f(x)|$の最大値$M$に対して$\frac{2Mn}{\e'}< A$なる$A$を取ると任意の$\a>A$について
\begin{eqnarray} \l|\int^b_af(x)\cos(\a x)dx\r| &=&\l|\sum^n_{k=1}\Big(\int^{x_{k+1}}_{x_k}(f(x)-f(x_k))\cos(\a x)dx+\int^{x_{k+1}}_{x_k}f(x_k)\cos(\a x)dx\Big)\r| \\&\leq&\sum^n_{k=1}\Big(\int^{x_{k+1}}_{x_k}|f(x)-f(x_k)|\cdot|\cos(\a x)|dx +\l|\l[f(x_k)\farc{\sin(\a x)}{\a}\r]^{x_{k+1}}_{x_k}\r|\Big) \\&<&\farc{\e-\e'}{b-a}\sum^n_{k=1}\int^{x_{k+1}}_{x_k}dx+\frac{M}{\a}\sum^n_{k=1}(|\sin(\a x_{k+1})|+|\sin(\a x_k)|) \\&\leq&\farc{\e-\e'}{b-a}(b-a)+\frac{M}{\a}\cdot2n \\&<&(\e-\e')+\e'=\e \end{eqnarray}
となるので主張を得る。$\sin(\a x)$についても同様である。

フーリエの収束定理

$\R$上区分的に滑らかな周期$T$の関数$f$について
\begin{eqnarray} \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} &=&\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos(\frac{2\pi nx}{T})+b_n\sin(\frac{2\pi nx}{T})) \\&=&\sum^\infty_{n=-\infty}c_ne^{\frac{2\pi inx}{T}} \end{eqnarray}
が成り立つ(ただし各点収束)。$f(x\pm0),a_n,b_n,c_n$は最初に紹介した通りである。

簡単のため$f(\frac{2\pi}{T}x)$を改めて$f(x)$とおくことで周期$2\pi$であるものとする。
まず
$\dis S_n(x)=\frac{a_0}2+\sum^n_{k=1}(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx))=\sum^n_{k=-n}c_ke^{ikx}$
$\dis D_n(x)=\frac12+\sum^n_{k=1}\cos(kx)=\frac{\sin\big((n+\frac12)x\big)}{\sin(\frac12x)}$
とおくと
\begin{eqnarray} S_n(x)&=&\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(y)(\frac12+\sum^n_{k=1}(\cos(ky)\cos(kx)+\sin(ky)\sin(kx)))dy \\&=&\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(y)\Big(\frac12+\sum^n_{k=1}\cos(k(y-x))\Big)dy \\&=&\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(y)D_n(y-x)dy =\frac1\pi\int^{\pi-x}_{-\pi-x}f(x+t)D_n(t)dt =\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x+t)D_n(t)dt \end{eqnarray}
となる。

ここで
$\dis g(t)=\left\{\begin{array}{cr} \dis\frac{f(x+t)-f(x+0)}{2\sin(\frac12t)}&0\leq t<\pi \\\dis\frac{f(x+t)-f(x-0)}{2\sin(\frac12t)}&-\pi< t<0 \end{array}\right.$
と定めると$f$は区分的に滑らかであったので
$\dis\lim_{t\to0^{\pm}}g(t) =\lim_{t\to0^{\pm}}\frac{f(x+t)-f(x\pm0)}{t}\cdot\frac{t}{2\sin(\frac12t)} =f'(x\pm0)$
$g$$t=0$で片側極限が存在し、$t\neq0$において区分的に連続なので結局$-\pi< t<\pi$において区分的に連続となる。

よって
$\dis\int^\pi_0D_n(t)dt=\int^0_{-\pi}D_n(t)dt=\frac\pi2$
に注意するとリーマン・ルベーグの補題から
\begin{eqnarray} &&S_n(x)-\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} \\&=&\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(t+x)D_n(t)dt-\frac1\pi\int^\pi_0f(x+0)D_n(t)dt-\frac1\pi\int^0_{-\pi}f(x-0)D_n(t)dt \\&=&\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}g(t)\sin\Big((n+\frac12)t\Big)dt\to0\quad(as\;n\to\infty) \end{eqnarray}
と主張を得る。

一様収束性

フーリエの収束定理ではフーリエ級数が各点収束することを保証していますが実用的には一様収束が保証された方が嬉しいのでこの節では一様収束の十分条件を与えたいと思います。具体的には区分的に滑らかであることに加えて$\R$上連続であれば十分であることがわかります。
以下$f$は周期$2\pi$の関数であるものとします。

ベッセルの不等式

$f$が区分的に連続であればフーリエ係数$\dis c_n=\frac1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(t)e^{-int}dt$について
$\dis\sum^\infty_{n=-\infty}|c_n|^2\leq\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}|f(x)|^2dx$
が成り立つ。特に$f$のフーリエ級数が一様収束するとき等号が成立し、その等式
$\dis\sum^\infty_{n=-\infty}|c_n|^2=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}|f(x)|^2dx$
のことをパーセバルの等式という。

以下のような指数関数の直交性
$\dis\frac1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}e^{imt}e^{int}dt =\left\{\begin{array}{cc}1&m=n\\0&m\neq n\end{array}\right.$
に注意すると
\begin{eqnarray} 0&\leq&\frac1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}\Big|f(x)-\sum^n_{k=-n}c_ke^{ikx}\Big|^2dx \\&=&\frac1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}\Big(f(x)-\sum^n_{k=-n}c_ke^{ikx}\Big)\Big(\ol{f(x)}-\sum^n_{k=-n}\ol{c_k}e^{-ikx}\Big)dx \\&=&\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)\ol{f(x)}dx -\sum^n_{k=-n}\frac{c_k}{2\pi}\int^\pi_{-\pi}\ol{f(x)}e^{ikx}dx -\sum^n_{k=-n}\frac{\ol{c_k}}{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)e^{-ikx}dx +\frac1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}\Big(\sum^n_{k=-n}c_ke^{ikx}\Big)\Big(\sum^n_{k=-n}\ol{c_k}e^{-ikx}\Big)dx \\&=&\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}|f(x)|^2dx -\sum^n_{k=-n}c_k\ol{c_k}-\sum^n_{k=-n}\ol{c_k}c_k+\sum^n_{k=-n}c_k\ol{c_k} \\&=&\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}|f(x)|^2dx-\sum^\infty_{n=-\infty}|c_n|^2 \end{eqnarray}
となるのでこれを$n\to\infty$とすることで主張を得る。また$n\to\infty$において不等式の等号が成立する、つまり一行目の積分が$0$となるにはフーリエ級数が一様収束していれば十分である。

$f$$\R$上連続かつ区分的に滑らかであればフーリエ級数は一様収束する。

いま$f'$のフーリエ係数$\dis c'_n=\frac1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f'(t)e^{-int}dt$を考えると$f$の連続性から
\begin{eqnarray} c'_n&=&\frac1{2\pi}\l[f(t)e^{-int}\r]^\pi_{-\pi}-\frac1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(t)(-ine^{-int})dt \\&=&0+inc_n \end{eqnarray}
となり、$f'$は区分的連続であったのでベッセルの不等式から
$\dis\sum^\infty_{n=-\infty}n^2|c_n|^2=\sum^\infty_{-\infty}|c'_n|^2 \leq\frac1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}|f'(x)|dx<\infty$
つまり
$\dis\sum^\infty_{n=-\infty}n^2|c_n|^2$
は収束することがわかる。

いま相加平均相乗平均の不等式から
$\dis|c_n|=\sqrt{(n^2|c_n|^2)\cdot\frac1{n^2}}\leq\frac{n^2|c_n|^2}{2}+\frac1{2n^2}$
であることに注意すると
\begin{eqnarray} \l|\sum^\infty_{n=-\infty}c_ne^{inx}\r| &\leq&\sum^\infty_{n=-\infty}|c_n| \\&\leq&|c_0|+\sum^\infty_{n=-\infty}n^2|c_n|^2+2\sum^\infty_{n=1}\farc{1}{2n^2} \\&=&\sum^\infty_{n=-\infty}n^2|c_n|^2+\frac{\pi^2}{6}<\infty \end{eqnarray}
とフーリエ級数が絶対一様収束することがわかる。(cf.ワイエルシュトラスのMテスト)

フーリエ変換について

さて今問題になっているのは
$\dis\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum^\infty_{n=-\infty}(\int^{\frac T2}_{-\frac T2}f(t)e^{-\frac{2\pi int}{T}}dt)e^{\frac{2\pi inx}{T}} =\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum^\infty_{n=-\infty} (\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{-\frac{2\pi int}{T}}dt)e^{\frac{2\pi inx}{T}}$
という操作の正当性なのであった。この操作は中の積分の$|t|>\frac T2$における部分の寄与が十分に小さいことを言っている。
とりあえず一般の$f$に対してこの等式を考えるのは大変なので十分大きい任意の$t$に対して$f_k(t)=0$となる(言い換えればコンパクト台を持つ)ような$f$に収束する適当な関数列$f_k$を持ってきてこの$f_k$について考えることにしよう。つまるところ$T_k<|t|$において$f_k(t)=0$とするならば$\frac T2>T_k$において
$\dis\int^{\frac T2}_{-\frac T2}f_k(t)e^{-\frac{2\pi int}{T}}dt=\int^\infty_{-\infty}f_k(t)e^{-\frac{2\pi int}{T}}dt$
なので
$\dis f_k(x)=\int^\infty_{-\infty}\hat{f_k}(y)e^{2\pi ixy}dy$ただし$\dis\hat{f_k}(y)=\int^\infty_{-\infty}f_k(t)e^{-2\pi ity}dt$
が成り立つことになる。あとは
$\dis|\hat{f}(y)-\hat{f_k}(y)|\leq\int^\infty_{-\infty}|f(t)-f_k(t)|dt\to0\quad(as\;k\to\infty)$
なので
$\dis\l|\int^\infty_{-\infty}\hat{f}(y)e^{2\pi ixy}dy-f_k(x)\r| \leq\int^\infty_{-\infty}|\hat{f}(t)-\hat{f_k}(t)|dt\to0\quad(as\;k\to\infty)$
つまり
$\dis\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)=\int^\infty_{-\infty}\hat{f}(y)e^{2\pi ixy}dy$
が成り立つ。といった具合だろうか。

余談

最後の最後で「いい感じの関数列を持ってくる」という曖昧な表現になってしまったが実際問題一般の関数$f$に対してフーリエ級数からフーリエ変換を導出する際に上に挙げた問題に言及しているサイトやテキストが見当たらなかったためこのような始末となった(もしかすると私が気付いていないだけで実は簡単な事実なのだろうか)。ただ$f$の無限遠点における漸近的挙動に条件を付けた場合(例えば$f(x)=O(|x|^{-k})$といった具合)においては厳密な議論をすることができるらしい。

おまけ:ポアソン和公式

ポアソン和公式

関数$f(x)$のフーリエ変換$\dis\hat{f}(s)=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-2\pi ixs}dx$について
$\dis\sum^\infty_{n=-\infty}f(n)=\sum^\infty_{n=-\infty}\hat{f}(n)$が成り立つ。

$\dis F(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}f(x+n)$とおくとこれは周期$1$の関数となるので
$\dis F(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}c_ne^{2\pi inx}\quad(c_n=\int^1_0F(x)e^{-2\pi inx}dx)$とフーリエ級数展開でき、
この時$\dis c_n=\sum^{\infty}_{k=-\infty}\int^1_0f(x+k)e^{-2\pi inx}dx=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-2\pi inx}dx=\hat{f}(n)$なので
$\dis F(0)=\sum^\infty_{n=-\infty}f(n)=\sum^\infty_{n=-\infty}\hat{f}(n)$を得る。

参考文献

投稿日:202133

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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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