OMC
で出題した私の問題をまとめます.(随時更新します(多分))
OMC007D(分野:N)
正の整数 について, の 次方程式
の解が全て正の整数となるとき, の取りうる値の総和を求めてください.
OMC011D(分野:G)
である三角形 の内心を とします. 点 が辺 上を, 点 が辺 上を, 点 が辺 上をそれぞれ動くとき, のとり得る最小値は正の整数 を用いて と表わされます. を求めてください.
OMC013C(分野:N)
複素数 についての方程式 が, 正整数解のみを持つような整数 について, その総和を求めてください.
OMC013E(分野:A)
個の式
を満たす実数の組 の個数を求めてください.
OMC014B(分野:N)
は次の性質を持つ 桁の正整数です.
- で割った余りは で割った商より 大きい
- のように, 差が である つの正整数の積で表すことができる
この つの性質をもつ 以外の 桁の正整数をすべて求めてください.
OMC014D(分野:N)
次の条件を満たす 以下の正の偶数 の総和を求めてください.
OMC014E(分野:C)
のマス目の各マスに, 正整数を入れていくことを考えます. いま, 図のように つの正整数 が既に埋まっています. このとき, 他の マスについて, 次の条件を満たす正整数の入れ方がちょうど 通り存在しました.
- のマス目が魔法陣となる. すなわち, 各行, 各桁, 各対角線上にある つの下図の和は全て等しくなる.
の範囲で, このような正整数の組 の個数を求めてください.
OMC016B(分野:C)
下図のような碁盤の目状の道があります. 図で示された 区間を除いて道は存在しません.
torii君は地点 から地点 まで歩いていくことになりましたが, 途中で迷子になってしまい, 初めて 地点に到達するまでちょうど 区間歩きました. torii君が歩いた経路として考えられるものは何通りありますか.
ただし, torii君は直前に通った区間を逆向きに引き返しても良いですが, 区間の中途では引き返せません.
OMC020C(分野:C)
正の整数 が 桁の良い数であるとは, 次の条件をみたすことを指します. \
- を 進法表記で と表したとき, ある整数 が存在して以下が成立する. ただし各 について であり, 特に である.
例えば や は良い数ですが, や は良い数ではありません.
進法表記で 桁の良い数であって, の倍数であるものの個数を求めてください.
OMC020D(分野:N)
次の条件を満たす正整数 のうち, 番目に小さいものを で割った余りを求めてください.
- かつ なる相異なる正整数の組 が, ちょうど 組存在する.
OMC022E(分野:G)
正三角形 において, その内部の点 が以下の等式をみたしました.
このとき, 三角形 の面積比を求めてください.