自作問題置き場(OMC)

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OMC で出題した私の問題をまとめます．(随時更新します(多分)) 　

OMC007D(分野：N)

正の整数 $n_1\geq n_2\geq \cdots\geq n_{2020}$ について, $x$ の $4040$ 次方程式
$$(x^2-n_1x+n_2)(x^2-n_2x+n_3)\cdots(x^2-n_{2019}x+n_{2020})(x^2-n_{2020}x+n_1)=0$$
の解が全て正の整数となるとき, $n_1$ の取りうる値の総和を求めてください.

OMC011D(分野：G)

$AB=2,BC=1,CA=\sqrt{3}$ である三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします. 点 $P$ が辺 $AB$ 上を, 点 $Q$ が辺 $BC$ 上を, 点 $R$ が辺 $CA$ 上をそれぞれ動くとき, $IP+PQ+QR+RI$ のとり得る最小値は正の整数 $a,b,c$ を用いて $\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ と表わされます. $a+b^2c$ を求めてください.

OMC013C(分野：N)

複素数 $x$ についての方程式 $x^2-2(m-480)+(4m+97)=0$ が, 正整数解のみを持つような整数 $m$ について, その総和を求めてください.

OMC013E(分野：A)

$15$ 個の式
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x_1^2+x_2+x_3+\cdots+x_{15}=1 \\ x_1+x_2^2+x_3+\cdots+x_{15}=1 \\ x_1+x_2+x_3^2+\cdots+x_{15}=1 \\ 　\vdots \\ x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{15}^2=1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
を満たす実数の組 $(x_1,x_2,\cdots,x_{15})$ の個数を求めてください.

OMC014B(分野：N)

$2021$ は次の性質を持つ $4$ 桁の正整数です.

$100$ で割った余りは $100$ で割った商より $1$ 大きい
$2021=43\times47$ のように, 差が $4$ である $2$つの正整数の積で表すことができる
この $2$ つの性質をもつ $2021$ 以外の $4$ 桁の正整数をすべて求めてください.

OMC014D(分野：N)

次の条件を満たす $100$ 以下の正の偶数 $n$ の総和を求めてください.

$n< pq$ かつ $(p-1)^{q-1}+(q-1)^{p-1}\equiv n\pmod {pq}$ を満たす素数の組 $(p,q)$ が存在する.

OMC014E(分野：C)

$3\times3$ のマス目の各マスに, 正整数を入れていくことを考えます. いま, 図のように $2$ つの正整数 $a,b$ が既に埋まっています. このとき, 他の $7$ マスについて, 次の条件を満たす正整数の入れ方がちょうど $2021$ 通り存在しました.

$3\times3$ のマス目が魔法陣となる. すなわち, 各行, 各桁, 各対角線上にある $3$ つの下図の和は全て等しくなる.

$a,b\leq10^6$ の範囲で, このような正整数の組 $(a,b)$ の個数を求めてください.

OMC016B(分野：C)

下図のような碁盤の目状の道があります. 図で示された $40$ 区間を除いて道は存在しません.
　torii君は地点 $A$ から地点 $B$ まで歩いていくことになりましたが, 途中で迷子になってしまい, 初めて $B$ 地点に到達するまでちょうど $10$ 区間歩きました. torii君が歩いた経路として考えられるものは何通りありますか.
　ただし, torii君は直前に通った区間を逆向きに引き返しても良いですが, 区間の中途では引き返せません.

OMC020C(分野：C)

正の整数 $n$ が $k$ 桁の良い数であるとは, 次の条件をみたすことを指します. \

$n$ を $10$ 進法表記で $\overline{a_1a_2\cdots a_{k-1}a_k}$ と表したとき, ある整数 $N(1< N< k)$ が存在して以下が成立する. ただし各 $i=1,\cdots,k$ について $0\leq a_i\leq 9$ であり, 特に $a_1\neq 0$ である. $$a_1< a_2<\cdots< a_{N-1}< a_N>a_{N+1}>\cdots>a_{k-1}>a_k$$

例えば $12321$ や $1357986420$ は良い数ですが, $123321$ や $12345$ は良い数ではありません.

$10$ 進法表記で $15$ 桁の良い数であって, $3$ の倍数であるものの個数を求めてください.