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自作問題置き場(OMC)

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OMC で出題した私の問題をまとめます.(随時更新します(多分))  

OMC007D(分野:N)

正の整数 n1n2n2020 について, x4040 次方程式
(x2n1x+n2)(x2n2x+n3)(x2n2019x+n2020)(x2n2020x+n1)=0
の解が全て正の整数となるとき, n1 の取りうる値の総和を求めてください.

OMC011D(分野:G)

AB=2,BC=1,CA=3 である三角形 ABC の内心を I とします. 点 P が辺 AB 上を, 点 Q が辺 BC 上を, 点 R が辺 CA 上をそれぞれ動くとき, IP+PQ+QR+RI のとり得る最小値は正の整数 a,b,c を用いて abc と表わされます. a+b2c を求めてください.

OMC013C(分野:N)

複素数 x についての方程式 x22(m480)+(4m+97)=0 が, 正整数解のみを持つような整数 m について, その総和を求めてください.

OMC013E(分野:A)

15 個の式
{x12+x2+x3++x15=1x1+x22+x3++x15=1x1+x2+x32++x15=1 x1+x2+x3++x152=1
を満たす実数の組 (x1,x2,,x15) の個数を求めてください.

OMC014B(分野:N)

2021 は次の性質を持つ 4 桁の正整数です.

  • 100 で割った余りは 100 で割った商より 1 大きい
  • 2021=43×47 のように, 差が 4 である 2つの正整数の積で表すことができる
    この 2 つの性質をもつ 2021 以外の 4 桁の正整数をすべて求めてください.

OMC014D(分野:N)

次の条件を満たす 100 以下の正の偶数 n の総和を求めてください.

  • n<pq かつ (p1)q1+(q1)p1n(modpq) を満たす素数の組 (p,q) が存在する.

OMC014E(分野:C)

3×3 のマス目の各マスに, 正整数を入れていくことを考えます. いま, 図のように 2 つの正整数 a,b が既に埋まっています. このとき, 他の 7 マスについて, 次の条件を満たす正整数の入れ方がちょうど 2021 通り存在しました.

  • 3×3 のマス目が魔法陣となる. すなわち, 各行, 各桁, 各対角線上にある 3 つの下図の和は全て等しくなる.

a,b106 の範囲で, このような正整数の組 (a,b) の個数を求めてください.

OMC016B(分野:C)

下図のような碁盤の目状の道があります. 図で示された 40 区間を除いて道は存在しません.
 torii君は地点 A から地点 B まで歩いていくことになりましたが, 途中で迷子になってしまい, 初めて B 地点に到達するまでちょうど 10 区間歩きました. torii君が歩いた経路として考えられるものは何通りありますか.
 ただし, torii君は直前に通った区間を逆向きに引き返しても良いですが, 区間の中途では引き返せません.

OMC020C(分野:C)

正の整数 nk 桁の良い数であるとは, 次の条件をみたすことを指します. \

  • n10 進法表記で a1a2ak1ak と表したとき, ある整数 N(1<N<k) が存在して以下が成立する. ただし各 i=1,,k について 0ai9 であり, 特に a10 である. a1<a2<<aN1<aN>aN+1>>ak1>ak

例えば 123211357986420 は良い数ですが, 12332112345 は良い数ではありません.

10 進法表記で 15 桁の良い数であって, 3 の倍数であるものの個数を求めてください.

OMC020D(分野:N)

次の条件を満たす正整数 N のうち,5 番目に小さいものを 1000 で割った余りを求めてください.

  • a<bかつk=abk=N なる相異なる正整数の組 (a,b) が, ちょうど 2021 組存在する.

OMC022E(分野:G)

正三角形 ABC において, その内部の点 P が以下の等式をみたしました.
AP2+BP2=AB2,  BP2+CP2=AP2
このとき, 三角形 PAB,PBC,PCA の面積比を求めてください.

投稿日:202134
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とりゐ
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