文献あり

基本対称式の符号

@sunu14kus予想

2つの実数 $x, y$ がともに正である条件は $x + y$ と $x y$ がともに正であることだが、
3つに拡張して実数 $x, y, z$ に関して
$x + y + z$ と $x y + y z + z x$ と $x y z$ が全て正であれば $x, y, z$ は全て正と言えるか？

この予想が以下の一般的な形で解決された:

$n$ を正の整数とする. $i = 0, . . ., n$ に対して $e_{i} (x_{1}, . . ., x_{n})$ を $i$ 次の基本対称式とする.

定理

$α_{1}, \dots, α_{n}$ を実数とする. このとき, 次は同値である.
(R1) 任意の $i = 1, \dots, n$ に対して $e_{i} (α_{1}, \dots, α_{n}) > 0$
(R2) 任意の $i = 1, \dots, n$ に対して $α_{i} > 0$ であることは同値である.

証明[@zunda1st, @iMac_perfectのアイデア]
(ii) $⟹$ (i) は明らかである.
(i) $⟹$ (ii) を示す.
(i)を仮定する.
$f (x) := (x - α_{1}) \dots (x - α_{n})$ とおく.
$f (x) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} e_{i} (α_{1}, \dots, α_{n}) x^{i}$ が成り立つことから, $x < 0$ において右辺の各項の符号は $(- 1)^{n}$ と等しいことがわかる.
したがって $x < 0$ において $f (x)$ の符号は $(- 1)^{n}$ と等しく, 特に $f (x) \neq 0$ である.
各 $i = 1, \dots, n$ に対して $f (α_{i}) = 0$ であることに注意すると (ii) が従うことがわかる.