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大学数学基礎解説
文献あり

有限生成加群上の全射自己準同型が同型であること

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初めての記事です。忘れてしまいそうな小ネタのメモをすることを兼ねて、テストのつもりで書いています。
以下の主張を証明します。

Aを可換環、Mを有限生成A-加群、f:MMA-準同型とする。
fが全射であるとき、fは同型である。

「幾何」を強く意識して証明を作ってみました。

XfによってMA[X]-加群とみなします。
MA-加群として有限生成なので、A[X]-加群としても有限生成です。
さらに、fは全射なので、
MA[X]A[X]/(X)coker(f)0
となります。
Mは有限生成なので、従って、中山の補題より、Spec(A[X])の中で、
Supp(M)V(X)=
が成り立ちます。ただしここでV(X)はイデアル(X)に対応する閉部分集合です。
これは、A[X]-加群 (とくにA-加群) として
MA[X]A[X,1/X]M
が成り立つを意味し、従って、X-倍写像MMが、すなわち、f:MMが、可逆であることが従います。◻︎

参考文献

投稿日:202134
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