文献あり

有限生成加群上の全射自己準同型が同型であること

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初めての記事です。忘れてしまいそうな小ネタのメモをすることを兼ねて、テストのつもりで書いています。
以下の主張を証明します。

$A$ を可換環、 $M$ を有限生成 $A$ -加群、 $f : M \to M$ を $A$ -準同型とする。
$f$ が全射であるとき、 $f$ は同型である。

「幾何」を強く意識して証明を作ってみました。

$X \mapsto f$ によって $M$ を $A [X]$ -加群とみなします。
$M$ は $A$ -加群として有限生成なので、 $A [X]$ -加群としても有限生成です。
さらに、 $f$ は全射なので、
$M \otimes_{A [X]} A [X] / (X) ≅ coker (f) ≅ 0$
となります。
$M$ は有限生成なので、従って、中山の補題より、 $Spec (A [X])$ の中で、
$Supp (M) \cap V (X) = \emptyset$
が成り立ちます。ただしここで $V (X)$ はイデアル $(X)$ に対応する閉部分集合です。
これは、 $A [X]$ -加群 (とくに $A$ -加群) として
$M \otimes_{A [X]} A [X, 1 / X] ≅ M$
が成り立つを意味し、従って、 $X$ -倍写像 $M \to M$ が、すなわち、 $f : M \to M$ が、可逆であることが従います。◻︎