初めての記事です。忘れてしまいそうな小ネタのメモをすることを兼ねて、テストのつもりで書いています。以下の主張を証明します。
Aを可換環、Mを有限生成A-加群、f:M→MをA-準同型とする。fが全射であるとき、fは同型である。
「幾何」を強く意識して証明を作ってみました。
X↦fによってMをA[X]-加群とみなします。MはA-加群として有限生成なので、A[X]-加群としても有限生成です。さらに、fは全射なので、M⊗A[X]A[X]/(X)≅coker(f)≅0となります。Mは有限生成なので、従って、中山の補題より、Spec(A[X])の中で、Supp(M)∩V(X)=∅が成り立ちます。ただしここでV(X)はイデアル(X)に対応する閉部分集合です。これは、A[X]-加群 (とくにA-加群) としてM⊗A[X]A[X,1/X]≅Mが成り立つを意味し、従って、X-倍写像M→Mが、すなわち、f:M→Mが、可逆であることが従います。◻︎
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。