有限生成加群上の全射自己準同型が同型であること

$X\mapsto f$によって$M$を$A[X]$-加群とみなします。
$M$は$A$-加群として有限生成なので、$A[X]$-加群としても有限生成です。
さらに、$f$は全射なので、
$$M\otimes_{A[X]}A[X]/(X) \cong \mathrm{coker}(f) \cong 0$$
となります。
$M$は有限生成なので、従って、中山の補題より、$\mathrm{Spec}(A[X])$の中で、
$$\mathrm{Supp}(M)\cap V(X)=\emptyset$$
が成り立ちます。ただしここで$V(X)$はイデアル$(X)$に対応する閉部分集合です。
これは、$A[X]$-加群 (とくに$A$-加群) として
$$M\otimes_{A[X]}A[X,1/X]\cong M$$
が成り立つを意味し、従って、$X$-倍写像$M\to M$が、すなわち、$f:M\to M$が、可逆であることが従います。◻︎