本日の積分(2020年11月7日)解答

次の問題の略解を示しておきます。

「$A$を$n$次正値実対称行列とするとき

${\displaystyle {\int }_{{\mathbf{R}}^n}\exp (-(x,Ax))dx}$

を求めよ。ただし(・,・)は${\mathbf{R}}^n$の標準内積である。」

【略解】$A$は実対称行列なので適当な直交行列$P$で対角化することができ、その固有値${\lambda }_1,{\lambda }_2,・・・,{\lambda }_n$は実数である。さらに正値であることから固有値${\lambda }_1,{\lambda }_2,・・・,{\lambda }_n$はすべて正である。

$PA{}^{t}P=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,・・・,{\lambda }_n)=\mathrm{\Lambda }$とすると

$\exp (-(x,Ax))=\exp (-(x,{}^{t}P\mathrm{\Lambda }Px))=\exp (-(Px,\mathrm{\Lambda }Px))$

となるので $y=Px$と変数変換すると

$P$が定める${\mathbf{R}}^n$の線形変換は同型写像であり、$\det \left(P\right)=\pm 1$であることから$dy=dx$である。

このことから問題の積分は

${\displaystyle {\int }_{{\mathbf{R}}^n}\exp (-(y,\mathrm{\Lambda }y))dy}$

と書き換えられる。

ここで

${\displaystyle (y,\mathrm{\Lambda }y)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y_i}^2}$より

${\displaystyle \exp (-(y,\mathrm{\Lambda }y))=\prod _{i=1}^n\exp (-{\lambda }_i{y_i}^2)}$となるので

${\displaystyle {\int }_{{\mathbf{R}}^n}\exp (-(y,\mathrm{\Lambda }y))dy={\int }_{{\mathbf{R}}^n}\prod _{i=1}^n\exp (-{\lambda }_i{y_i}^2)dy=\prod _{i=1}^n{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-{\lambda }_i{y_i}^2)d{y}_i}$

ここで$\lambda >0$に対して

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\lambda y{}^2)dy=\sqrt{\frac{\pi }{\lambda }}}$

であることと${\lambda }_1{\lambda }_2・・・{\lambda }_n=\det \left(A\right)$に注意すれば、求める積分値は

${\displaystyle \frac{{\pi }^{n/2}}{\sqrt{\det \left(A\right)}}}$となる。