Grassmannian

可換環論,代数幾何学

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これもメモです。

記号

$C$ を圏、 $c$ を対象とするとき、函手 ${Hom}_{C} (-, c) : C^{op} \to Set$ を $h_{c}$ によって表す。
$f : T \to S$ をスキームの射、 $F$ を $S$ 上の準連接層とするとき、 $T$ 上の準連接層 $f^{*} F$ を $F_{T}$ で表す。 $T = Spec (A)$ である場合、 $F_{T}$ に対応する $A$ -加群を $F_{A}$ と表す。
$S$ を基礎スキームとする。 ${Sch}_{/ S}^{op}$ はZariski位相を入れてサイトとみなす。
函手 $f, g : {Sch}_{/ S}^{op} \to Set$ の間の射 $f \to g$ が表現可能であるとは、任意の $S$ -スキーム $T$ と任意の射 $h_{T} \to g$ に対して、 $f \times_{g} h_{T}$ が表現可能函手であることを言う。とくに、 $g$ が表現可能で $f \to g$ が表現可能であれば、 $f$ も表現可能である。
直前の状況で、 $f \to g$ が開埋め込みであるとは、任意の $S$ -スキーム $T$ と任意の射 $h_{T} \to g$ に対して、 $f \times_{g} h_{T}$ が $T$ の開部分スキームで表現されることを言う。
$f_{i}, g : {Sch}_{/ S}^{op} \to Set, (i \in I)$ を函手とする。開埋め込みの族 ${f_{i} \to g | i \in I}$ が $g$ の開被覆であるとは、任意の $S$ -スキーム $T$ と任意の射 $h_{T} \to g$ に対して、 $f_{i} \times_{g} h_{T}$ を表現する $T$ の開部分スキームを $U_{i}$ としたとき、 $T = ⋃_{i \in I} U_{i}$ が成り立つことを言う。

補題たち

スキームの貼り合わせをFunctor of Points的な視点で書き換える：

$S$ をスキーム、 $f : {Sch}_{/ S}^{op} \to Set$ を層とする。 $f$ が表現可能函手による開被覆をもつとき、 $f$ は表現可能である。

容易 (スキームの貼り合わせをするだけ)。

完全列の分裂について：

$C$ をアーベル圏として、
$0 \to A \overset{f}{\to} B \overset{g}{\to} C \to 0$
を $C$ の完全列とする。
このとき、上の完全列の分裂の集合を $X$ とするとき、 $X$ は空であるか、または群 ${Hom}_{C} (C, A)$ は $X$ に推移的かつ忠実に作用する。

$X$ が空であれば示すべきことは何もない。
二つの分裂 $s, t \in X$ をとる。
ここで $s, t : C \to B, g \circ s = g \circ t$ である。
$g \circ (s - t) = 0$ であるので、 $s - t : C \to B$ は $f$ を一意的に経由する。
以上で補題2の証明を完了する。

Grassmannian函手の表現可能性

以下の設定を (☆) とする：

$S$ をスキーム、 $n > r > 0$ を自然数、 $E$ を $S$ 上のランク $n + 1$ の局所自由層とする。
$T$ 上のランク $r$ の局所自由層への全射
$p_{1, T} : E_{T} \to F_{1}, p_{2, T} : E_{T} \to F_{2}$
に対して、同値関係
$p_{1, T} \sim p_{2, T}$
を、 $\ker (p_{1, T}) = \ker (p_{2, T})$ であることによって定義する。

設定 (☆) で、さらに $S = Spec (A)$ がアフィンスキームであり、 $E$ は自由層であるとする。
$E$ を $E$ に対応する自由 $A$ -加群であるとする。
$K \subset E$ をランク $r$ の部分自由 $A$ -加群であるとする。
$K$ に対応する $S$ 上の自由層を $K$ で表す。
このとき、函手
$\begin{aligned} f_{K} : {Sch}_{/ S}^{op} & \to Set, \\ T & \mapsto {p_{T} : E_{T} \to F | p_{T} は全射, F はランク r の T 上の局所自由層, p_{T} (K_{T}) = F} / \sim, \end{aligned}$
は $Spec ({Sym}_{A} ({Hom}_{A} (E / K, K)^{\lor}))$ により表現可能である。
ただしここで $\lor$ は双対を表す。

条件 $p_{T} (K_{T}) = F$ は $K_{T} \subset E_{T}$ が全射 $p_{T}$ の分裂を与えることを意味する。従って、補題2より、
$f_{K} (T) ≅ {Hom}_{T} (E_{T} / K_{T}, K_{T}) ≅ Γ (T, H o m_{T} (E_{T} / K_{T}, K_{T}))$
が成り立つ。
これは $f_{K}$ が ${Hom}_{A} (E / K, K)$ に対応する $S$ 上の連接層であることを意味している。
以上で補題3の証明を完了する。

Grassmannianの表現可能性

設定 (☆) のもと、函手
$\begin{aligned} G_{S} (r, E) : {Sch}_{/ S}^{op} & \to Set, \\ T & \mapsto {p_{T} : E_{T} \to F | p_{T} は全射, F はランク r の T 上の局所自由層} / \sim, \end{aligned}$
は $S$ 上有限型なスキーム $G_{S} (r, E)$ により表現可能である。
さらに、 $S$ が体のスペクトラムであるとき、 $G_{S} (r, E)$ の次元は $r (n + 1 - r)$ である。

$g = G_{S} (r, E)$ とおく。 $g$ は層であることが容易に確認できる。
従って、 $E$ を自明化する $S$ のアフィン開被覆をとれば、命題1より、表現可能性を確認するためには、 $S$ がaffineであり、さらに $E$ が自由層であるとしても一般性を失わない。
以下、 $S = Spec (A)$ として、 $E$ はランク $n + 1$ の自由 $A$ -加群 $E$ に対応するとする。

ランク $r$ の自由 $A$ -加群 $K \subset E$ に対する補題3の表現可能函手 $f_{K}$ と、 $g$ との関係を調べる。
$S$ -スキーム $T = Spec (B)$ と射 $h_{T} \to g$ を任意にとる。米田の補題により、射 $h_{T} \to g$ は $T$ 上の層の商
$p_{T} : E_{T} \to F$
と対応する。ここで $F$ はランク $r + 1$ の局所自由層であり、 $p_{T}$ は全射である。このとき、
$p_{T} (K_{T}) = F$
であることは、
$Supp (coker (p_{T} |_{K_{T}})) = \emptyset$
と同値である。従って、 $U_{K} = T ∖ Supp (coker (p_{T} |_{F_{T}}))$ とおけば、
$f_{K} \times_{g} h_{T} ≅ h_{U_{K}}$
が成り立つ。とくに、 $f_{K} \to G$ は開埋め込みである。

ランク $r + 1$ の自由 $A$ -加群 $K_{1}, . . ., K_{m} \subset E$ を有限個選んで $⨁_{i = 1}^{m} K_{i} \to E$ が全射であるようにすれば、対応する $S$ 上の自由層 $K_{i}$ についても $⨁_{i = 1}^{m} K_{i} \to E$ は全射となる。従って、 $T$ 上のランク $r + 1$ の局所自由層への任意の全射 $p_{T} : E_{T} \to F$ に対して、
$⋂_{i = 1}^{m} Supp (coker (p_{T} |_{K_{i, T}})) = \emptyset$
が成り立つ。よって、
$T = ⋃_{i = 1}^{m} U_{K_{i}}$
が成り立つ。これは ${f_{K_{i}} | i = 1, \dots, m}$ が $g$ の開被覆であることを意味する。
よって、命題1と補題3より、 $g$ は表現可能であることが従う。
また、 $f_{K}$ は $S$ 上のベクトル束により表現されていて、 $g$ は有限個の $f_{K_{i}}$ らによって被覆されるので、表現対象 $G_{S} (r, E)$ は $S$ 上局所有限型かつ準コンパクト、すなわち、 $S$ 上有限型である。

$S$ が体のスペクトラムである場合、 $E / K$ は $n + 1 - r$ 次元であるので、補題3より、 $G_{S} (r, E)$ は $r (n + 1 - r)$ 次元である。
以上で定理4の証明を完了する。

Grassmannian bundle

定理4の $G_{S} (r, E)$ を $S$ 上のGrassmannian bundleという。
$S$ が体のスペクトラムである場合、これをGrassmann多様体という。

Grassmannian bundleの固有性を示す。

$S$ をスキーム、 $E$ を $S$ 上のランク $n + 1$ の局所自由層、 $n \geq r > 0$ を自然数とする。
このとき、射 $G_{S} (r, E) \to S$ はproper射である。

有限型であることは定理4により示されているので、普遍閉であることを示すことが残っている。付値判定法 (cf. Stacks Project, Tag 01KF ) により証明する。
$A$ を付値環、 $K$ をその商体として、可換図式
$\begin{matrix} Spec (K) & \overset{}{\to} & G_{S} (r, E) \\ ↓ & ↓ \\ Spec (A) & \overset{}{\to} & S \end{matrix}$
を任意にとる。
米田の補題より、射 $Spec (K) \to G_{S} (r, E)$ は $r$ -次元 $K$ -線形空間 $F$ への全射 $p : E_{K} \to F$ と対応する。
$F_{A} = p (E_{A})$ とおいて、全射 $p_{A} : E_{A} \to F_{A}$ を得る。
$F_{A}$ は $F$ の部分 $A$ -加群なのでねじれなしである。
$A$ は付値環なので、従って $F_{A}$ は有限生成平坦加群、すなわち、自由加群である (cf. Equational Criterion of Flatness, Corollary 4.9とCorollary 5.5 )。
そのランクは $F$ の次元と等しく、 $r$ である。
従って、上の図式のリフト
$Spec (A) \to G_{S} (r, E)$
が存在する。
リフトの一意性はランク $r$ の自由加群への商 $E_{A} \to F_{A}$ に $\otimes_{A} K$ を施して $p$ となるものが (up to $\sim$ で) 一意的であること (容易であるので詳細は省く) から従う。
以上で命題5の証明を完了する。