Grassmannian

可換環論,代数幾何学

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これもメモです。

記号

$\mathcal{C}$を圏、$c$を対象とするとき、函手$\Hom_{\mathcal{C}}(-,c):\mathcal{C}^{\op}\to \Set$を$h_c$によって表す。
$f:T\to S$をスキームの射、$\mcF$を$S$上の準連接層とするとき、$T$上の準連接層$f^*\mcF$を$\mcF_T$で表す。$T=\Spec(A)$である場合、$\mcF_T$に対応する$A$-加群を$\mcF_A$と表す。
$S$を基礎スキームとする。$\Sch_{/S}^{\op}$はZariski位相を入れてサイトとみなす。
函手$f,g:\Sch_{/S}^{\op}\to\Set$の間の射$f\to g$が表現可能であるとは、任意の$S$-スキーム$T$と任意の射$h_T\to g$に対して、$f\times_g h_T$が表現可能函手であることを言う。とくに、$g$が表現可能で$f\to g$が表現可能であれば、$f$も表現可能である。
直前の状況で、$f\to g$が開埋め込みであるとは、任意の$S$-スキーム$T$と任意の射$h_T\to g$に対して、$f\times_g h_T$が$T$の開部分スキームで表現されることを言う。
$f_i,g:\Sch_{/S}^{\op}\to\Set,(i\in I)$を函手とする。開埋め込みの族$\{f_i\to g|i\in I\}$が$g$の開被覆であるとは、任意の$S$-スキーム$T$と任意の射$h_T\to g$に対して、$f_i\times_g h_T$を表現する$T$の開部分スキームを$U_i$としたとき、$T=\bigcup_{i\in I}U_i$が成り立つことを言う。

補題たち

スキームの貼り合わせをFunctor of Points的な視点で書き換える：

$S$をスキーム、$f:\Sch_{/S}^{\op}\to \Set$を層とする。$f$が表現可能函手による開被覆をもつとき、$f$は表現可能である。

容易 (スキームの貼り合わせをするだけ)。

完全列の分裂について：

$\mathcal{C}$をアーベル圏として、
$$0\to A\xrightarrow{f} B\xrightarrow{g} C\to 0$$
を$\mathcal{C}$の完全列とする。
このとき、上の完全列の分裂の集合を$X$とするとき、$X$は空であるか、または群$\Hom_{\mathcal{C}}(C,A)$は$X$に推移的かつ忠実に作用する。

$X$が空であれば示すべきことは何もない。
二つの分裂$s,t\in X$をとる。
ここで$s,t:C\to B,g\circ s = g\circ t$である。
$g\circ (s-t) = 0$であるので、$s-t:C\to B$は$f$を一意的に経由する。
以上で補題2の証明を完了する。

Grassmannian函手の表現可能性

以下の設定を (☆) とする：

$S$をスキーム、$n > r > 0$を自然数、$\mcE$を$S$上のランク$n+1$の局所自由層とする。
$T$上のランク$r$の局所自由層への全射
$$p_{1,T}:\mcE_T\to \mcF_1, p_{2,T}:\mcE_T\to \mcF_2$$
に対して、同値関係
$$ p_{1,T}\sim p_{2,T} $$
を、$\ker(p_{1,T})=\ker(p_{2,T})$であることによって定義する。

設定 (☆) で、さらに$S=\Spec(A)$がアフィンスキームであり、$\mcE$は自由層であるとする。
$E$を$\mcE$に対応する自由$A$-加群であるとする。
$K\subset E$をランク$r$の部分自由$A$-加群であるとする。
$K$に対応する$S$上の自由層を$\mcK$で表す。
このとき、函手
\begin{align*} f_K:\Sch_{/S}^{\op} &\to \Set, \\ T &\mapsto \left\{ p_T:\mcE_T\to \mcF \ | \ \text{$p_T$は全射, $\mcF$はランク$r$の$T$上の局所自由層, $p_T(\mcK_T)=\mcF$}\right\}/\sim, \end{align*}
は$\Spec(\mathrm{Sym}_A(\Hom_A(E/K,K)^{\vee}))$により表現可能である。
ただしここで$\vee$は双対を表す。

条件$p_T(\mcK_T)=\mcF$は$\mcK_T\subset \mcE_T$が全射$p_T$の分裂を与えることを意味する。従って、補題2より、
$$f_K(T) \cong \Hom_T(\mcE_T/\mcK_T,\mcK_T)\cong \Gamma(T,\mathcal{H}om_T(\mcE_T/\mcK_T,\mcK_T))$$
が成り立つ。
これは$f_K$が$\Hom_A(E/K,K)$に対応する$S$上の連接層であることを意味している。
以上で補題3の証明を完了する。

Grassmannianの表現可能性

設定 (☆) のもと、函手
\begin{align*} \mfG_S(r,\mcE):\Sch_{/S}^{\op} &\to \Set, \\ T &\mapsto \left\{ p_T:\mcE_T\to \mcF \ | \ \text{$p_T$は全射, $\mcF$はランク$r$の$T$上の局所自由層}\right\}/\sim, \end{align*}
は$S$上有限型なスキーム$\G_S(r,\mcE)$により表現可能である。
さらに、$S$が体のスペクトラムであるとき、$\G_S(r,\mcE)$の次元は$r(n+1-r)$である。

$g=\mfG_S(r,\mcE)$とおく。$g$は層であることが容易に確認できる。
従って、$\mcE$を自明化する$S$のアフィン開被覆をとれば、命題1より、表現可能性を確認するためには、$S$がaffineであり、さらに$\mcE$が自由層であるとしても一般性を失わない。
以下、$S=\Spec(A)$として、$\mcE$はランク$n+1$の自由$A$-加群$E$に対応するとする。

ランク$r$の自由$A$-加群$K\subset E$に対する補題3の表現可能函手$f_K$と、$g$との関係を調べる。
$S$-スキーム$T=\Spec(B)$と射$h_T\to g$を任意にとる。米田の補題により、射$h_T\to g$は$T$上の層の商
$$ p_T:\mcE_T \to \mcF $$
と対応する。ここで$\mcF$はランク$r+1$の局所自由層であり、$p_T$は全射である。このとき、
$$p_T(\mcK_T) = \mcF$$
であることは、
$$\mathrm{Supp}(\mathrm{coker}(p_T|_{\mcK_T}))=\emptyset$$
と同値である。従って、$U_K= T\setminus \mathrm{Supp}(\mathrm{coker}(p_T|_{\mcF_T}))$とおけば、
$$f_K\times_g h_T \cong h_{U_K}$$
が成り立つ。とくに、$f_K\to G$は開埋め込みである。

ランク$r+1$の自由$A$-加群$K_1,...,K_m\subset E$を有限個選んで$\bigoplus_{i=1}^m K_i \to E$が全射であるようにすれば、対応する$S$上の自由層$\mcK_i$についても$\bigoplus_{i=1}^m \mcK_i \to \mcE$は全射となる。従って、$T$上のランク$r+1$の局所自由層への任意の全射$p_T:\mcE_T\to \mcF$に対して、
$$\bigcap_{i=1}^m \mathrm{Supp}(\mathrm{coker}(p_T|_{\mcK_{i,T}}))=\emptyset$$
が成り立つ。よって、
$$T=\bigcup_{i=1}^m U_{K_i}$$
が成り立つ。これは$\{f_{K_i}|i=1,\cdots,m\}$が$g$の開被覆であることを意味する。
よって、命題1と補題3より、$g$は表現可能であることが従う。
また、$f_K$は$S$上のベクトル束により表現されていて、$g$は有限個の$f_{K_i}$らによって被覆されるので、表現対象$\G_S(r,\mcE)$は$S$上局所有限型かつ準コンパクト、すなわち、$S$上有限型である。

$S$が体のスペクトラムである場合、$E/K$は$n+1-r$次元であるので、補題3より、$\G_S(r,\mcE)$は$r(n+1-r)$次元である。
以上で定理4の証明を完了する。

Grassmannian bundle

定理4の$\G_S(r,\mcE)$を$S$上のGrassmannian bundleという。
$S$が体のスペクトラムである場合、これをGrassmann多様体という。

Grassmannian bundleの固有性を示す。

$S$をスキーム、$\mcE$を$S$上のランク$n+1$の局所自由層、$n\geq r>0$を自然数とする。
このとき、射$\G_S(r,\mcE)\to S$はproper射である。

有限型であることは定理4により示されているので、普遍閉であることを示すことが残っている。付値判定法 (cf. Stacks Project, Tag 01KF ) により証明する。
$A$を付値環、$K$をその商体として、可換図式
\begin{equation*} \begin{CD} \Spec(K) @>>> \G_S(r,\mcE) \\ @VVV @VVV \\ \Spec(A) @>>> S \end{CD} \end{equation*}
を任意にとる。
米田の補題より、射$\Spec(K)\to \G_S(r,\mcE)$は$r$-次元$K$-線形空間$F$への全射$p:\mcE_K\to F$と対応する。
$F_A=p(\mcE_A)$とおいて、全射$p_A:\mcE_A\to F_A$を得る。
$F_A$は$F$の部分$A$-加群なのでねじれなしである。
$A$は付値環なので、従って$F_A$は有限生成平坦加群、すなわち、自由加群である (cf. Equational Criterion of Flatness, Corollary 4.9とCorollary 5.5 )。
そのランクは$F$の次元と等しく、$r$である。
従って、上の図式のリフト
$$\Spec(A)\to \G_S(r,\mcE)$$
が存在する。
リフトの一意性はランク$r$の自由加群への商$\mcE_A\to F_A$に$\otimes_A K$を施して$p$となるものが (up to $\sim$で) 一意的であること (容易であるので詳細は省く) から従う。
以上で命題5の証明を完了する。