どちゃ楽数学botの問題を解く Q.115

はじめに

最近数学をやってないな～と思ったので勝手ながら どちゃ楽数学bot さんの問題を解説したいと思います。

問題

解答

(1)条件(a)から$1\le f(0)$がわかり, また(b)から
$$\begin{array}{rcl}f(0)f(h)& \le & f(0+h)\\ & =& f(h)\end{array}$$
であって, (a)から$h>-1$であれば$f(h)\ne 0$であるので$f(0)\le 1$がわかり, これらより$f(0)=0$となります.
次に
$$\begin{array}{rl}f(x+h)-f(x)& \le f(x)f(h)-f(x)\\ & =f(x)\{f(h)-1\}\\ & \le f(x)h\end{array}$$
が成り立ち, $h$の正負について場合分けをすれば
$$\begin{gathered} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\le f(x)(h>0) \\ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ge f(x)(h<0) \end{gathered}$$
がわかるので, $h\to 0$とすることで
$$f(x)=f^{\prime }(x)$$
を得ます. よって$f^{\prime }(0)=f(0)=1$となります.

(2)先ほど得られた等式
$$f(x)=f^{\prime }(x)$$
と初期条件$f(0)=1$から$f(x)=e^x$

まとめ

正直解くのにものすごく苦労しました。でも割ときれいに解けた気もするのでﾖｼ!