n進法レピュニット11...1(n)の素因数とpk+1型の素数の無限性について

概要

ガロア理論の勉強をしていたら、次の定理を思いついたので、紹介します。

証明の概略は、$q$を素数、${\zeta }_q=e^{\frac{2\pi \sqrt{-1}}{q}}$とおき、集合
$$S=\{{\zeta }_q^{i_1}+\cdots +{\zeta }_q^{i_p},\cdots ,{\zeta }_q^{(q-1)i_1}+\cdots +{\zeta }_q^{(q-1)i_p}\}$$
の元の個数$|S|$を考えると、$q$が$n^{p-1}+n^{p-2}+\cdots +1$を割り切るとき、$|S|=(q-1)/p$となることを示します。

さらに、この系として、$pk+1$型の素数が無限に存在することを示します。

証明

$p=3$の場合

例として、$p=3$の場合で考えましょう。次の節で記すように、一般の$p$でも同様に示せます。

唐突ですが、$q$を素数、${\zeta }_q=e^{\frac{2\pi \sqrt{-1}}{q}}$とおき、集合
$$S=\{{\zeta }_q^i+{\zeta }_q^j+{\zeta }_q^k,{\zeta }_q^{2i}+{\zeta }_q^{2j}+{\zeta }_q^{2k},\cdots ,{\zeta }_q^{(q-1)i}+{\zeta }_q^{(q-1)j}+{\zeta }_q^{(q-1)k}\}$$
を考えます。$i,j,k\in \{1,2,\cdots ,q-1\}$で、すべて異なるとします。なので、$3<q$です。$p=3$だから$3$つ足しています。この大きさ$|S|$を考えることで、定理１が示されるのです。$|S|$を考えるには、重複を調べればよいです。したがって、
$${\zeta }_q^{si}+{\zeta }_q^{sj}+{\zeta }_q^{sk}={\zeta }_q^{ti}+{\zeta }_q^{tj}+{\zeta }_q^{tk}$$
なる$s\ne t\in \{1,2,\cdots ,q-1\}$の条件を考えることが目先の目標になります。${\zeta }_q^{si}={\zeta }_q^{ti}$や${\zeta }_q^{sj}={\zeta }_q^{tj}$、${\zeta }_q^{sk}={\zeta }_q^{tk}$は成り立たないので、上式が成り立つのは、次の2つの場合のいずれかです。

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}si\equiv tj\\ sj\equiv tk\\ sk\equiv ti\end{array}...(1)or\{\begin{array}{l}si\equiv tk\\ sj\equiv ti\\ sk\equiv tj\end{array}...(2)\end{array}\mathrm{mod}q$$
どちらの場合も、辺々をかけて、
$$\begin{gathered} s^{3}ijk\equiv t^{3}ijk \\ \therefore s^3\equiv t^3\therefore (s{t}^{-1}{)}^3\equiv 1 \end{gathered}$$
となります。いま、$s\not\equiv t$つまり$s{t}^{-1}\not\equiv 1$としているので、$x^3-1=0$が${\mathbb{F}}_q$に、$1$以外の根をもつことが必要になります。$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$より、$x^2+x+1$が${\mathbb{F}}_q$において根を持つかどうかが鍵となります。根を持たなければ、$(1),(2)$式が成立することはないので、$S$に重複はなく、$|S|=q-1$となります。
根を持つとき、その一つを$\omega$とおくと、もう一つは${\omega }^2$です。(この$\omega$は$(-1+\sqrt{-3})/2$とは関係ありません。${\omega }^2+\omega +1\equiv 0$となるような整数のことです。)$s{t}^{-1}\equiv \omega$すなわち$s\equiv \omega t$のとき、$(1),(2)$式は、
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\omega i\equiv j\\ \omega j\equiv k\\ \omega k\equiv i\end{array}or\{\begin{array}{l}\omega i\equiv k\\ \omega j\equiv i\\ \omega k\equiv j\end{array}\end{array}\mathrm{mod}q\iff i\equiv {\omega }^{2}j\equiv \omega kori\equiv \omega j\equiv {\omega }^{2}k\mathrm{mod}q$$
であり、$s{t}^{-1}\equiv {\omega }^2$すなわち$s\equiv {\omega }^{2}t$のとき、$(1),(2)$式は、
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\omega }^{2}i\equiv j\\ {\omega }^{2}j\equiv k\\ {\omega }^{2}k\equiv i\end{array}or\{\begin{array}{l}{\omega }^{2}i\equiv k\\ {\omega }^{2}j\equiv i\\ {\omega }^{2}k\equiv j\end{array}\end{array}\mathrm{mod}q\iff i\equiv \omega j\equiv {\omega }^{2}kori\equiv {\omega }^{2}j\equiv \omega k\mathrm{mod}q$$
となります。つまり、$i\equiv \omega j\equiv {\omega }^{2}k$のときは、
$${\zeta }_q^{si}+{\zeta }_q^{sj}+{\zeta }_q^{sk}={\zeta }_q^{\omega si}+{\zeta }_q^{\omega sj}+{\zeta }_q^{\omega sk}={\zeta }_q^{{\omega }^{2}si}+{\zeta }_q^{{\omega }^{2}sj}+{\zeta }_q^{{\omega }^{2}sk}$$
と、$S$の$3$つの元が等しくなり、また等しいのはこのような$3$つ組以外にありません。$i\equiv {\omega }^{2}j\equiv \omega k$の場合も同様です。よって、$i\equiv \omega j\equiv {\omega }^{2}k$または$i\equiv {\omega }^{2}j\equiv \omega k$のとき、$|S|=(q-1)/3$となります。これは整数ですから、$q\equiv 1\mathrm{mod}3$です。すなわち、$x^2+x+1$が${\mathbb{F}}_q$に根を持つならば、$q\equiv 1\mathrm{mod}3$であることが分かりました。(ただし、$3<q$です。)そして、これは、任意の自然数$n$に対して、$n^2+n+1$の$3$より大きい素因数は$3$で割ったあまりが$1$ということであり、$n\not\equiv 1\mathrm{mod}3$という条件で、$n^2+n+1$が$3$以下の素因数を持つことを排除しているので、定理１(の$p=3$の場合)が示せたことになります。

一般の$p$の場合

$p=3$のときと全く同じなので、概略だけ書きます。集合
$$S=\{{\zeta }_q^{i_1}+\cdots +{\zeta }_q^{i_p},\cdots ,{\zeta }_q^{(q-1)i_1}+\cdots +{\zeta }_q^{(q-1)i_p}\}$$
の元の個数$|S|$を考えます。$p<q$です。
$${\zeta }_q^{s{i}_1}+\cdots +{\zeta }_q^{s{i}_p}={\zeta }_q^{t{i}_1}+\cdots +{\zeta }_q^{t{i}_p}$$
となる条件を考えることにより、$x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1$が${\mathbb{F}}_q$に根を持つとき、その一つを$z_p$とおくと、例えば$i_1\equiv z_p{i}_2\equiv \cdots \equiv z_p^{p-1}{i}_p$のとき、
$${\zeta }_q^{s{i}_1}+\cdots +{\zeta }_q^{s{i}_p}={\zeta }_q^{z_{p}s{i}_1}+\cdots +{\zeta }_q^{z_{p}s{i}_p}=\cdots ={\zeta }_q^{z_p^{p-1}s{i}_1}+\cdots +{\zeta }_q^{z_p^{p-1}s{i}_p}$$
と、$S$の$p$個の元が等しくなります。したがって、$|S|=(q-1)/p$となります。すなわち、$x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1$が${\mathbb{F}}_q$に根を持つならば、$q\equiv 1\mathrm{mod}p$であることが分かります。(ただし、$p<q$です。)これは、$n^{p-1}+\cdots +1$の$p$より大きい素因数は$p$で割ったあまりが$1$であるということです。そして定理1の条件「$n$を$p$で割ったあまりが$1$でない」によって、$n^{p-1}+\cdots +1$は$p$以下の素因数を持たないことが、以下のように示されます。
$n^{p-1}+\cdots +1$が$p$以下の素因数$r$を持つと仮定します。$n\equiv 1\mathrm{mod}r$なら、$n^{p-1}+\cdots +1\equiv p\not\equiv 0\mathrm{mod}r$より矛盾なので、$n\not\equiv 1\mathrm{mod}r$です。$(n-1)(n^{p-1}+\cdots +1)=n^p-1$より、仮定は$n^p-1\equiv 0\mathrm{mod}r$と同値です。$n$は$r$と互いに素なので、$n^k\equiv 1\mathrm{mod}r$なる$k\in \{1,\cdots ,r-1\}$がただ一つ存在し、$p$は$k$の倍数となります。$p$は素数、$k<p$より、$k=1$となりますが、$n\not\equiv 1\mathrm{mod}r$より矛盾です。
以上により、定理1が示されました。

ちなみに、$n^{p-1}+\cdots +1$は$n$進法で$11\cdots 1_{(n)}$($p$桁)と表せますから、定理１は、$11\cdots 1_{(n)}$の素因数に関する定理と言えます。タイトルはそういう意味です。

(追記)
上の、「$x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1$が${\mathbb{F}}_q$に根を持つならば、$q\equiv 1\mathrm{mod}p$である」の証明は、群の知識があれば、次のようにする方が、見通しがよかったです: $x^p-1$が${\mathbb{F}}_q$に$1$以外の根を持つということなので、${\mathbb{F}}_q^{\times }$が位数$p$の元を持ちます。したがって、$p|q-1$です。

具体例

$n=10,p=5,7,11,13$で確かめてみましょう。

$$11111=41\times 271$$
ともに$5$で割って$1$あまります。

• $$1111111=239\times 4649$$
  ともに$7$で割って$1$あまります。
• $$11111111111=21649\times 513239$$
  ともに$11$で割って$1$あまります。
• $$1111111111111=53\times 79\times 265371653$$
  すべて$13$で割って$1$あまります。

美しいですね。

$pk+1$型の素数の無限性

定理1を用いると、(少し工夫を要しますが、)任意の素数$p$に対して、$pk+1$型の素数が無限に存在することが示せます。

ガロア理論から見直す

定理1の証明を、ガロア理論の視点で見直してみましょう。$S$とは、ガロア群$G=\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_q)/\mathbb{Q})$による$z={\zeta }_q^{i_1}+\cdots +{\zeta }_q^{i_p}$の軌道$G\cdot z$に他なりません。その位数$|G\cdot z|$は$z$の$\mathbb{Q}$上最小多項式の次数であり、$\mathbb{Q}(z)/\mathbb{Q}$の拡大次数です。当然、$\mathbb{Q}(z)$は$\mathbb{Q}({\zeta }_q)$の部分体ですから、$[\mathbb{Q}({\zeta }_q):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}({\zeta }_q):\mathbb{Q}(z)][\mathbb{Q}(z):\mathbb{Q}]$が成り立ちます。したがって、$[\mathbb{Q}(z):\mathbb{Q}]=|G\cdot z|$は$[\mathbb{Q}({\zeta }_q):\mathbb{Q}]=q-1$を割り切るのです。そして、与えられた$p$に対して、「$x^{p-1}+\cdots +1$が${\mathbb{F}}_q$に根を持つ」という条件を満たす$q$を選べば、$|G\cdot z|=p$となる$z$が存在するという訳です。

おわりに

ガロア理論を勉強しているとき、はじめは何が何だかわかりませんでしたが、具体例を考えてみると、その偉大さがわかってきました。やはり具体例を自分で作ってみることは大切ですね。

読んでいただきありがとうございました。