非負の単調増加列における単調収束定理の証明について，参考文献に載っている証明とは異なる，より簡単な証明を思いついたのですが，どこか誤りがあるような気がして不安になっています．内容としては，上に有界な単調列が収束する，という定理の証明の系という感じです．
もし誤りがあるのでしたら，どなたか教えていただけないでしょうか．逆に正しい場合には，正しそうだと教えていただけないでしょうか．
「非負関数列の単調収束定理」
可測関数列 ${f_n}$が, $f_n\geq0，f_n\uparrow f \mathrm{a.e.}$を満たすならば，$$ \lim_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu = \int_X f d\mu$$
が成り立つ.
[私の思いついた証明]
$\mathrm{sup}f_n = f$なので，任意の$\varepsilon>0$に対して，ある自然数$N\in \mathbb{N}$があって，$f_N>f-\varepsilon$が成り立つ．よって，$n>N$ならば，$f_n$は単調増加列なので，$\varepsilon>f-f_n\geq0$が成り立つ．したがって，Lebesgue積分の単調性と線形性から，
$$\varepsilon \int_X d\mu > \int_X f d\mu - \int f_n d\mu \geq0$$
が成り立つ．$\varepsilon>0$は任意なので，
$$ \lim_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu = \int_X f d\mu$$
が成り立つ．□