単調収束定理の証明についての質問

非負の単調増加列における単調収束定理の証明について，参考文献に載っている証明とは異なる，より簡単な証明を思いついたのですが，どこか誤りがあるような気がして不安になっています．内容としては，上に有界な単調列が収束する，という定理の証明の系という感じです．
もし誤りがあるのでしたら，どなたか教えていただけないでしょうか．逆に正しい場合には，正しそうだと教えていただけないでしょうか．

「非負関数列の単調収束定理」
可測関数列 $f_n$が, $f_n\ge 0，f_n\uparrow f \mathrm{a}.\mathrm{e}.$を満たすならば，$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu$$
が成り立つ.

[私の思いついた証明]
$\sup f_n=f$なので，任意の$\epsilon >0$に対して，ある自然数$N\in \mathbb{N}$があって，$f_N>f-\epsilon$が成り立つ．よって，$n>N$ならば，$f_n$は単調増加列なので，$\epsilon >f-f_n\ge 0$が成り立つ．したがって，Lebesgue積分の単調性と線形性から，
$$\epsilon {\int }_{X}d\mu >{\int }_{X}fd\mu -\int f_{n}d\mu \ge 0$$
が成り立つ．$\epsilon >0$は任意なので，
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu$$
が成り立つ．□