久々に打ちをしたくなったのでちょっと書きます.抽象的でよくわからない群の要素を,複素正則行列に変換することで具体的に扱えるようにしたい!という群の表現論という分野があります.この文脈で群上のFourier変換というものがあることを最近知りました.ここでは有限群に限定しますが,これがみんな知ってる周期関数に対するFourier変換の拡張になってるっぽいことを確認してみたいと思います.
を有限群とします.
有限群の線形表現
-線形空間と群準同型があるとき,組をの(線形)表現といい,をの表現空間という.ここで,の群演算は関数合成である.また,の-線形空間としての次元を表現の次元といい,と表す.
単にだけでの表現ということもしばしばあり,このときはの表現空間をなどと表します.また,とおくことで,の表現空間上の表現を定めることは,-線形空間への左-作用を定めることと同じであることがわかります.こうしてを左-加群とみなす立場では,を省略してだけでの表現ということもあります.
表現の同値性と既約性を定義します.
-準同型
をの表現とする.このとき,-線形写像が左-加群の準同型であるとき,すなわち任意の に対しが成立するとき,は-準同型であるといい,その全体をと表す.特にが可逆ならば-同型であるといい,これが存在するときと表す.
既約表現
をの表現とする.ここでが非自明な-部分加群をもたないとき,すなわちの-部分線形空間でを満たすものがかしかないとき,は既約表現であるという.
次に,表現の指標というものを定義します.これには表現の本質的な情報が詰まっていて非常に重要らしいです.
指標
をの表現とする.をとると,線形代数の一般論よりのトレースが一意に定まる.そこでをで定義し,表現の指標という.特に既約表現の指標を既約指標という.
既約指標について,公式を2つ紹介します.をの既約表現のによる代表元の集合とし,を有限群における共役関係,をの共役類とします.
からへの写像全体をとおくと,これは点ごとの和,スカラー倍により-線形空間になります.これをもとに,有限群上のFourier変換を定義します.
有限群上のFourier変換
-線形写像をで定義し,これを上のFourier変換と呼びます.
有限群上の逆Fourier変換
-線形写像をで定義し,これを上の逆Fourier変換と呼びます.
これらが記号通りに,互いに逆写像になっているか調べます.
任意のに対し,だが,ゆえ.すなわちだから,は単射である.また,-線形空間としての次元は,となるゆえ,で,は全単射.これよりもわかる.
次に,畳み込み積というものを定義します.
畳み込み積
上の演算を,に対し,で定める.これを畳み込み積という.
唐突ですが,群環というものがあります.これはの各元を基底とする-線形空間です.つまりは,形式的な和の全体となっています.これには,の積を-線形に拡張したものが積として入っています.すなわち,です.のをの成分とみなす対応により-線形同型を得ますが,
なので,の畳み込み積はに素朴に定義された積に対応することがわかります.したがって,畳み込み積をの積とすると,-多元環の同型が成立します.
以下の定理はに移して考えると超簡単ですが,ここでは直接計算して示します.
以上より,成分ごとの関数合成をの積とすると,-多元環のとしての同型が成立することがわかります.
最後に,周期関数のFourier変換について簡単に言及します.を加法群とします.これは有限群ではないので,本稿の議論はそのまま適用できません.本来ならば位相を入れて色々考慮しなければなりませんが,そこらへんは雰囲気でやります.は周期の関数の全体のことです.実は,の既約(連続)表現は全て1次元で,の形に限られることが示せます.は無限群ゆえ和は積分になるから,Fourier変換は,となり,Fourier逆変換は,となります.これは周期関数のFourier変換に他なりません.