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有限群上の Fourier 変換

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久々にTEX打ちをしたくなったのでちょっと書きます.抽象的でよくわからない群の要素を,複素正則行列に変換することで具体的に扱えるようにしたい!という群の表現論という分野があります.この文脈で群上のFourier変換というものがあることを最近知りました.ここでは有限群に限定しますが,これがみんな知ってる周期関数に対するFourier変換の拡張になってるっぽいことを確認してみたいと思います.

G を有限群とします.

有限群の線形表現

C-線形空間Vと群準同型ρ:GAutC(V)があるとき,組(ρ,V)G(線形)表現といい,Vρの表現空間という.ここで,AutC(V)の群演算は関数合成である.また,VC-線形空間としての次元を表現の次元といい,dimρと表す.

単にρだけでGの表現ということもしばしばあり,このときはρの表現空間をVρなどと表します.また,gv=ρ(g)(v)(gG,vV)とおくことで,Gの表現空間V上の表現を定めることは,C-線形空間Vへの左G-作用を定めることと同じであることがわかります.こうしてVを左G-加群とみなす立場では,ρを省略してVだけでGの表現ということもあります.

表現の同値性と既約性を定義します.

G-準同型

(ρ,V),(σ,W)Gの表現とする.このとき,C-線形写像f:VWが左G-加群の準同型であるとき,すなわち任意のgG,vV に対しf(ρ(g)(v))=σ(g)(f(v))が成立するとき,fG-準同型であるといい,その全体をHomG(V,W)と表す.特にfが可逆ならばG-同型であるといい,これが存在するときρσと表す.

既約表現

(ρ,V)Gの表現とする.ここでVが非自明なG-部分加群をもたないとき,すなわちVC-部分線形空間Wρ(g)(W)W(gG)を満たすものが{0}Vしかないとき,(ρ,V)既約表現であるという.

次に,表現の指標というものを定義します.これには表現の本質的な情報が詰まっていて非常に重要らしいです.

指標

(ρ,V)Gの表現とする.gGをとると,線形代数の一般論よりρ(g)AutC(V)のトレースtrρ(g)Cが一意に定まる.そこでχρ:GCGgtrρ(g)Cで定義し,表現ρ指標という.特に既約表現の指標を既約指標という.

既約指標について,公式を2つ紹介します.G^Gの既約表現のによる代表元の集合とし,を有限群Gにおける共役関係,C(s)sGの共役類とします.

既約指標の第1直交関係

ρ,σGの既約表現とすると,1|G|gGχρ(g)χσ(g)={1(ρσ)0(ρσ)が成立する.

既約指標の第2直交関係

s,tGに対し,ρG^χρ(s)χρ(t)={|G||C(s)|(st)0(st)が成立する.

GからCへの写像全体をL(G)とおくと,これは点ごとの和,スカラー倍によりC-線形空間になります.これをもとに,有限群上のFourier変換を定義します.

有限群上のFourier変換

C-線形写像F:L(G)ρG^EndC(Vρ)L(G)φ(gGφ(g)ρ(g))ρρG^EndC(Vρ)で定義し,これをG上のFourier変換と呼びます.

有限群上の逆Fourier変換

C-線形写像F1:ρG^EndC(Vρ)L(G)EndC(Vρ)μρ{g1|G|dimρtr(ρ(g1)μρ)}L(G)で定義し,これをG上の逆Fourier変換と呼びます.

これらが記号通りに,互いに逆写像になっているか調べます.

有限群上のFourier変換の可逆性

上のFF1は互いに逆写像である.

任意のφL(G)に対し,(F1F)(φ)=F1((gGφ(g)ρ(g))ρ)={h1|G|gGρG^dimρtr(ρ(h1)φ(g)ρ(g))}だが,1|G|gGρG^dimρtr(ρ(h1)φ(g)ρ(g))=1|G|gGφ(g)ρG^dimρtr(ρ(h1g))=1|G|gGφ(g)ρG^χρ(1G)χρ(h1g)=φ(h)|G||G|=φ(h)ゆえ(F1F)(φ)=φ.すなわちF1F=idL(G)だから,Fは単射である.また,C-線形空間としての次元は,dimC(ρG^EndC(Vρ))=ρG^(dimCVρ)2=ρG^χρ(1G)χρ(1G)=|G|=dimCL(G)となるゆえ,ρG^EndC(Vρ)CL(G)で,Fは全単射.これよりFF1=idρG^EndC(Vρ)もわかる.

次に,畳み込み積というものを定義します.

畳み込み積

L(G)上の演算を,φ,ψL(G)に対し,(φψ)(g):=hGφ(h)ψ(h1g)(gG)で定める.これを畳み込み積という.

唐突ですが,群環C[G]というものがあります.これはGの各元gGを基底とするC-線形空間です.つまりC[G]は,形式的な和gGcgg(cgC)の全体となっています.これには,Gの積をC-線形に拡張したものが積として入っています.すなわち,(gGcgg)(hGdhh)=gGhGcgdhghです.φL(G)φ(g)C[G]g成分とみなす対応φgGφ(g)gによりC-線形同型L(G)CC[G]を得ますが,
(gGcgg)(hGdhh)=gGhGcgdhgh=hG(gGcgdg1h)hなので,L(G)の畳み込み積はC[G]に素朴に定義された積に対応することがわかります.したがって,畳み込み積をL(G)の積とすると,C-多元環の同型L(G)C[G]が成立します.

以下の定理はC[G]に移して考えると超簡単ですが,ここでは直接計算して示します.

畳み込み定理

φ,ψL(G)に対し,F(φψ)=F(φ)F(ψ)が成り立つ.

F(φψ)=(gG(φψ)(g)ρ(g))ρ=(gGhGφ(h)ψ(h1g)ρ(g))ρ =(gGhGφ(h)ψ(g)ρ(hg))ρ=((hGφ(h)ρ(h))(gGψ(g)ρ(g)))ρ=F(φ)F(ψ)

以上より,成分ごとの関数合成をρG^EndC(Vρ)の積とすると,C-多元環のとしての同型L(G)C[G]ρG^EndC(Vρ)が成立することがわかります.

最後に,周期関数のFourier変換について簡単に言及します.Gを加法群R/2πZとします.これは有限群ではないので,本稿の議論はそのまま適用できません.本来ならば位相を入れて色々考慮しなければなりませんが,そこらへんは雰囲気でやります.L(G)は周期2πの関数f:RCの全体のことです.実は,Gの既約(連続)表現は全て1次元で,ρn:GθeinθC×AutC(C)(nZ)の形に限られることが示せます.Gは無限群ゆえ和は積分になるから,Fourier変換は,F:L(G)f(Gf(θ)einθdθ)nnZCnZEndC(C)となり,Fourier逆変換は,F1:nZC(an)nZ{Gθ12πnZaneinθC}L(G)となります.これは周期関数のFourier変換に他なりません.

投稿日:202137
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minerva
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