三角形の中心X(222)の作図定理

まず, 補題１を示す.
$\textbf{補題1（混線内接円と接点）}$
$A$-混線内接円を $\gamma_A$, その外接円 $\Gamma$ との接点を $T_A$ とする. $\gamma_A$ が $AB,AC$ に接する点は, それぞれ $F,G$ である.

$\textbf{証明1}$
円 $BCI$ の $I$ における接線は, 接弦定理と内心の角の性質から $AI$ に垂直である. 一方, Baca の混線内接円の作図補題[5]より, $\gamma_A$ の $AB,AC$ との接点を結ぶ直線は $I$ を通り $AI$ に垂直である.
したがって両直線は一致し, 接点は $F,G$ となる. よって
$$\omega_A=(AFG) $$
である. 以下, $B,C$ についても同様に考える. ∎

$\textbf{補題2（Monge の定理）}$
$A,T_A,X(56)$ は一直線上にある。

$\textbf{証明2}$
内接円を $\iota$ とする. 円 $(\iota,\gamma_A,\Gamma)$ を考えると, これらの組の相似中心は, それぞれ $(A,T_A,X(56))$ である.
実際, $A$ は $(\iota,\gamma_A)$ の外相似中心, $T_A$ は $(\gamma_A,\Gamma)$ の外相似中心, $X(56)$ は $(\iota,\Gamma)$ の外相似中心である.
したがって, Monge の定理より $A,T_A,X(56)$ は一直線上にある.
巡回的に, $B,T_B,X(56)$ および $C,T_C,X(56)$ も一直線上にある. ∎

$\textbf{補題3（反転による調和関係）}$
$S_A$ を $\omega_A$ と $\Gamma$ の $A$ 以外の交点とする. このとき $(AB,AC;AT_A,AS_A)=-1$
が成り立つ.

$\textbf{証明3}$
$A$ を中心とする反転を行い, 各点の像を $Y^*$ と書く.
$\Gamma$ は直線 $B^*C^*$ に, $\omega_A=(AFG)$ は直線 $F^*G^*$ に移る. したがって
$$ U=B^*C^*\cap F^*G^* $$
とおけば, $U=S_A^*$ である.
また, $\gamma_A$ の像である円は, 直線 $AB,AC,B^*C^*$ にそれぞれ $F^*,G^*,T_A^*$ で接する. 接線の長さが等しいことから
$$AF^*=AG^*,\qquad B^*F^*=B^*T_A^*,\qquad C^*G^*=C^*T_A^*. $$
ここで, 三角形 $AB^*C^*$ にメネラウスの定理を適用すると, 上の等式より
$$\frac{\overline{B^*U}}{\overline{UC^*}} = -\frac{\overline{B^*T_A^*}} {\overline{T_A^*C^*}}$$
を得る. これは $(B^*,C^*;T_A^*,U)=-1$ である. 反転で調和関係は保たれるから, $(B,C;T_A,S_A)=-1.$
これを点 $A$ から射影すれば $ (AB,AC;AT_A,AS_A)=-1 $ を得る.∎

$\textbf{補題4}$
$X(56)$ の反チェバ三角形を $A'B'C'$ とする. このとき
$$ AS_A=B'C',\quad BS_B=C'A',\quad CS_C=A'B' $$
が成り立つ.

$\textbf{証明4}$
補題2より $AT_A=AX$ である. 補題3から $(AB,AC;AX,AS_A)=-1. $
反チェバ三角形の定義より、$B'C'$ は $AX$ の調和共役線に一致する. したがって $AS_A=B'C'.$ 残りも巡回的に従う.∎

$\textbf{補題5（根心の存在定理）}$
$ A'\in\operatorname{Rad}(\omega_B,\omega_C), B'\in\operatorname{Rad}(\omega_C,\omega_A), C'\in\operatorname{Rad}(\omega_A,\omega_B). $

$\textbf{証明5}$
補題4と、$A,S_A$ がともに $\omega_A,\Gamma$ 上にあることから
$$ B'C'=AS_A =\operatorname{Rad}(\omega_A,\Gamma). $$
同様に
$$C'A'=\operatorname{Rad}(\omega_B,\Gamma), \qquad A'B'=\operatorname{Rad}(\omega_C,\Gamma). $$
したがって、根心の存在定理より、3円 $\omega_A,\omega_B,\Gamma$ の根心は $B'C'$ と $C'A'$ の交点 $C'$ である. ゆえに
$$ C'\in\operatorname{Rad}(\omega_A,\omega_B).$$
他の2つも巡回的に従う. ∎

$\textbf{補題6}$
内接円が $BC$ に接する点を $P$ とする. このとき
$P\in\operatorname{Rad}(\omega_B,\omega_C) $である.

$\textbf{証明6}$
問題文で定めた $H,J$ を用いる. 円 $(ACI)$ の $I$ における接線 $HJ$ は $BI$ に垂直であり, $IP\perp BC$ である. また, $BI$ は $\angle ABC$ の二等分線だから, $\triangle BPI\sim\triangle PIJ. $ したがって
$ BP\cdot PJ=PI^2=r^2, $
ただし $r$ は内接円の半径である。
同様に、円 $(ABI)$ の $I$ における接線を用いると $\triangle CPI\sim\triangle PID $ より
$ CP\cdot PD=PI^2=r^2. $ ここで, $B,P,J$ は一直線上にあり, $B,J\in\omega_B$ である. また, $C,P,D$ は一直線上にあり, $C,D\in\omega_C$ である. したがって, 有向方べきを用いれば
$$\operatorname{Pow}_{\omega_B}(P) =-r^2 =\operatorname{Pow}_{\omega_C}(P). $$
ゆえに (P) は両円の根軸上にある. ∎

補題5, 6より, $P,A'$ はともに $\omega_B,\omega_C$ の根軸上にある.したがって
$$ PA'=\operatorname{Rad}(\omega_B,\omega_C). $$
巡回的に
$$ QB'=\operatorname{Rad}(\omega_C,\omega_A), RC'=\operatorname{Rad}(\omega_A,\omega_B) $$
も成り立つ.
一方, $P,Q,R$ は内接円の接点からなる $X(7)$ のチェバ三角形であり, $A'B'C'$ は $X(56)$ の反チェバ三角形である. よって, $X(222)$ の定義から $$PA',\quad QB',\quad RC' $$
は $X(222)$ で共点.
これらは3円 $\omega_A,\omega_B,\omega_C$ の根軸そのものであるから、その根心は $\boxed{X(222)} $ である. ∎