オイラー・ラグランジュ方程式の表記

概要

物理学にはラグランジュの運動方程式があり、重要な方程式である一方で、微分と積分が入り混じって複雑な形をしている。ここでは表記に着目し、最速降下曲線の定式からオイラー・ラグランジュの運動方程式を導き、幾つかの一般化を含めた式の表記について考察する。

最速降下曲線問題

むかしむかし、ヨーロッパの数学者の間では問題を投げ合うのが流行っていた。そんな中、 最速降下曲線 [wikipedia] と呼ばれる問題があった。

点$a$から点$b$までの移動時間$T$は、質点が2点それぞれに居る時刻$t_a$から$t_b$までの時刻$t$の積分として、とりあえず形式的に${\displaystyle T={\displaystyle {\int }_{t_a}^{t_b}dt}}$と書ける。時刻が未知であり、求めたいのは曲線の形であるため、$dt$を$dx$に変えて$x$と$y$の関係式に変形したい。

ここで、速度$\mathit{v}$を導入すれば、その$x$成分$v_x={\displaystyle \frac{dx}{dt}}$で$dt$を置換できる。また、力学的エネルギ保存則$mgy={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\mathit{v}}^2$を使えば$v_x$を消せる。${\mathit{v}}^2=2gy$で、重力加速度$g$は定数として残して良い。$y$は曲線の形状情報のため残して良い。

${\mathit{v}}^2=v_x^2+v_y^2$であるゆえ、先に$v_y$を$v_x$で表してから纏めて消す。質点が曲線に沿って移動するため、速度は曲線の勾配方向に向き、${\displaystyle \frac{v_y}{v_x}}={\displaystyle \frac{dy}{dx}}=y^{\prime }$が成り立つので、これを使えば良い。新たに出てきた$y^{\prime }$は曲線を記述する$x$と$y$の関係式であるため残して良い。

以上を纏めると、${\mathit{v}}^2=v_x^2+v_y^2=v_x^2(1+y^{\prime 2})$ であるため、${\displaystyle \frac{1}{v_x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+y^{\prime 2}}{{\mathit{v}}^2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+y^{\prime 2}}{2gy}}}$となる。よって、$T={\displaystyle {\int }_{t_a}^{t_b}dt={\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}{\displaystyle \frac{dx}{v_x}}={\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}\sqrt{{\displaystyle \frac{1+y^{\prime 2}}{2gy}}}dx}}}$となる。後は最小の$T$を与える関数$y(x)$を数学的に解けば良い。

変分法

$T={\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}\sqrt{{\displaystyle \frac{1+y^{\prime 2}}{2gy}}}dx}$を一般化すると、未知関数$y$とその微分$y^{\prime }$を独立変数とする記述関数$F(y,y^{\prime })$があり、その定積分で定義される汎関数$T(y)={\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}F(y(x),y^{\prime }(x))dx}$の関数値を最小にする関数$y$を求める問題に帰着する。

変分の原理では、関数$y(x)$に微小な変化$\delta y(x)$を与え、その差異によって引き起こす汎関数値の変化$\delta T(y)$を調べる。$\delta y(x)$は基本的に任意だが、2点$a,b$を必ず通るため、境界条件として$\delta y(x_a)=\delta y(x_b)=0$の制約を課す必要がある。

変分法

問題を簡単にするため、$\delta y$を微小な定数値$\epsilon$と任意の関数$\eta (x)$の積に分けて定義する：$\delta y=\epsilon \eta (x)$。また、境界条件を$\eta (x_a)=\eta (x_b)=0$の形で引き継ぐ。すると、如何なる$\delta y$を加えても$T(y)$が最小値を取るとき、少なくとも${\displaystyle \frac{dT(y+\epsilon \eta )}{d\epsilon }}=0$が成り立っている必要がある。これは代入してから$\epsilon$で微分する意味である。

更に記号法として、$u=y+\delta y=y+\epsilon \eta$を定義して置く。すなわち、$u(x)=y(x)+\epsilon \eta (x)$、$u^{\prime }(x)=y^{\prime }(x)+\epsilon {\eta }^{\prime }(x)$。これで解くべき問題は${\displaystyle \frac{dT(u)}{d\epsilon }}={\displaystyle \frac{d}{d\epsilon }}{\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}F(u(x),u^{\prime }(x))dx=0}$になる。

ここからは一気に計算する。微分と積分が交換可能であり、連鎖則に従い、部分積分もできる。部分積分で、${[{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u(x)}}\eta (x)]}_{x_a}^{x_b}$が出てくるが、境界条件$\eta (x_a)=\eta (x_b)=0$が効いているため、$0$に消える。
$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{dT(u)}{d\epsilon }}={\displaystyle \frac{d}{d\epsilon }}{\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}F(u(x),u^{\prime }(x))dx} \\ \phantom{{\displaystyle \frac{\partial T(u)}{\partial \epsilon }}}={\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}{\displaystyle \frac{d}{d\epsilon }}F(u(x),u^{\prime }(x))dx} \\ \phantom{{\displaystyle \frac{\partial T(u)}{\partial \epsilon }}}={\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}({\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u(x)}}{\displaystyle \frac{du(x)}{d\epsilon }}+{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u(x)}}{\displaystyle \frac{d{u}^{\prime }(x)}{d\epsilon }})dx} \\ \phantom{{\displaystyle \frac{\partial T(u)}{\partial \epsilon }}}={\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}({\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u(x)}}\eta (x)+{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u(x)}}{\eta }^{\prime }(x))dx} \\ \phantom{{\displaystyle \frac{\partial T(u)}{\partial \epsilon }}}={\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}({\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u(x)}}\eta (x)-\left[{\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u^{\prime }(x)}}\right]\eta (x))dx+{[{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u(x)}}\eta (x)]}_{x_a}^{x_b}} \\ \phantom{{\displaystyle \frac{\partial T(u)}{\partial \epsilon }}}={\displaystyle {\int }_{x_a}^{x_b}({\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u(x)}}-{\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u^{\prime }(x)}})\eta (x)dx} \end{gathered}$$

これが任意の$\eta (x)$に対し常に$0$であるためには、積分対象を$0$にするしかない。これがオイラー・ラグランジュ方程式になる。
$${\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u(x)}}-{\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u^{\prime }(x)}}=0$$

微分と代入の読み方

導出の過程から、オイラー・ラグランジュ方程式に含まれる偏微分は「先に変微分してから代入する」のに対し、常微分は「先に代入してから微分する」。良く用いられる微分の表記では、この代入と微分の順番は曖昧になっているため、注意が必要である。

一般に、合成関数の微分では、微分する対象で代入と微分の順番が決まる。例えば合成関数$f(g(x))$の微分は${\displaystyle \frac{df}{dx}}={\displaystyle \frac{df}{dg}}{\displaystyle \frac{dg}{dx}}$と表記される。${\displaystyle \frac{df}{dx}}$は代入する関数$g(x)$の独立変数$x$で微分するように表記し、$f$に$g(x)$を代入してからの微分を意味する。対し、${\displaystyle \frac{df}{dg}}$は代入する関数$g$で微分するように表記し、$g(x)$を先に微分してからの代入を意味する。

すると、オイラー・ラグランジュ方程式に含まれる${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u^{\prime }(x)}}$の意味は、偏微分が代入する関数$u^{\prime }(x)$で微分するため代入してからの微分で、常微分は代入する関数$u(x)$や$u^{\prime }(x)$の独立変数で微分するため微分してからの代入と読める。

代入前後の定義域の問題

合成関数$F(u(x),u^{\prime }(x))$では、$u^{\prime }(x)$が$u(x)$の微分で互いに独立してないため、定義域に関して混乱し易い。具体に、$F(m,n)$と定義すれば2次元空間が定義域とも成り得るが、$F(u(x),u^{\prime }(x))$と代入すれば定義域が1次元に限定される。物理的に見れば、問題が1次元の$x$軸上でしか定義されないため、$F(m,n)$を偏微分するための2次元空間の殆どが「定義域外」と錯覚し易い。

これに対し、$F$の定義域$D$が物理的に意味のある領域$U=\{(u(x),u^{\prime }(x))\}$を含む関係にあり、代入前は$D$、代入で$U$に制限されると考えると良い。すなわち、関数$F$の解析は広い2次元空間で行い、解析した結果を物理的に意味のある1次元空間に限定して使えば辻褄が合う算段である。

多次元への一般化

未知関数$u$がベクトル関数の場合、縮約記法では$u_i$と表記する。記述関数$F$は全ての要素の関数になる。
$$F(u_0(x),\dots ,u_i(x),\dots ,u_I(x),u_0^{\prime }(x),\dots ,u_i^{\prime }(x),\dots ,u_I^{\prime }(x))$$
ベクトル表記で$F(\mathit{u}(x),{\mathit{u}}^{\prime }(x))$と書くように、縮約記法では縮約せずに$F(u(x),u^{\prime }(x))$と書く。$F(u_i(x),u_i^{\prime }(x))$とも書けるが、縮約記法では添字の数で総和を取る対象を判断するため、関数の代入値に添字が含まれると紛らわしくなる。例えば、2次元で${\displaystyle \frac{df(x_i)}{d{x}_i}}$と書いても${\displaystyle \frac{df(x_i)}{d{x}_i}}=({\displaystyle \frac{df(x_0,x_1)}{d{x}_0}},{\displaystyle \frac{df(x_0,x_1)}{d{x}_1}})$というベクトル値あって、${\displaystyle \frac{df(x_0)}{d{x}_0}}+{\displaystyle \frac{df(x_1)}{d{x}_1}}$というスカラー値には成らない。関数の括弧の中は外と無関係と分かれば、${\displaystyle \frac{df(x_i)}{d{x}_i}}$でも良い。無関係と主張して${\displaystyle \frac{df(x_{\mu })}{d{x}_i}}$と書いても良いが、対応が崩れるのと、添字に使える文字を消費してしまう弱点がある。

結果的に、オイラー・ラグランジュ方程式は単純な書き換えで済む。
$${\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u_i(x)}}-{\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),u^{\prime }(x))}{\partial u_i^{\prime }(x)}}=0$$

位置$x$もベクトル値の場合、縮約記法では反変成分で$x^j$と書き、記述関数$F$は全ての$u_i$とその勾配の関数となる。勾配はベクトル勾配として$\mathrm{\nabla }\mathit{u}={\displaystyle \frac{\partial u_i}{\partial x^j}}={\partial }_j{u}_i=u_{i,j}$で表記され、$u_i$と$x^j$の全組合わせだけの成分を持つ。$F$の引数を全て並べて書くと：
$$F\left(\begin{array}{c}{u}_0(x^0,\cdots ,x^J),\dots ,u_i(x^0,\cdots ,x^J),\dots ,u_I(x^0,\cdots ,x^J),\\ u_{0,0}(x^0,\cdots ,x^J),\dots ,u_{i,0}(x^0,\cdots ,x^J),\dots ,u_{I,0}(x^0,\cdots ,x^J),\\ ⋮\\ u_{0,J}(x^0,\cdots ,x^J),\dots ,u_{i,J}(x^0,\cdots ,x^J),\dots ,u_{I,J}(x^0,\cdots ,x^J),\end{array}\right)$$
これを$F(\mathit{u}(x),\mathrm{\nabla }\mathit{u}(x))$や$F(u(x),\partial u(x))$と表記される。

オイラー・ラグランジュ方程式は未知変数の偏微分項がやたらと増えて、常微分の部分も偏微分に変わって内積を取る。ベクトル記法では
$${\displaystyle \frac{\partial F(\mathit{u}(\mathit{x}),\mathrm{\nabla }\mathit{u}(\mathit{x}))}{\partial \mathit{u}(\mathit{x})}}-\mathrm{\nabla }\cdot {\displaystyle \frac{\partial F(\mathit{u}(\mathit{x}),\mathrm{\nabla }\mathit{u}(\mathit{x}))}{\partial (\mathrm{\nabla }\mathit{u}(\mathit{x}))}}=0$$
縮約記法では
$${\displaystyle \frac{\partial F(u(x),\partial u(x))}{\partial u_i(x)}}-{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x^j}}{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),\partial u(x))}{\partial u_{i,j}(x)}}=0$$
$${\displaystyle \frac{\partial F(u(x),\partial u(x))}{\partial u_i(x)}}-{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x^j}}{\displaystyle \frac{\partial F(u(x),\partial u(x))}{\partial ({\partial }_j{u}_i(x))}}=0$$
$${\displaystyle \frac{\partial F(u_i(x_s),{\partial }_j{u}_i(x_s))}{\partial u_i(x_s)}}-{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x^j}}{\displaystyle \frac{\partial F(u_i(x_s),{\partial }_j{u}_i(x_s))}{\partial ({\partial }_j{u}_i(x_s))}}=0$$