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大学数学基礎解説
積分botさんの積分(1)
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積分botさん ( https://twitter.com/integralsbot?s=09 ) のこの式を証明します。
$\displaystyle\int_0^\infty\frac{\ln x}{(\ln^2x+\pi^2)(1+x)^2}\frac{dx}{\sqrt{x}}=-\frac{\pi}{24}$
https://twitter.com/integralsbot/status/1368527027536494595?s=19
(証明)
まずは$\log x$を$x$に置換します。
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{xe^x}{(x^2+\pi^2)(1+e^x)^2}\frac{dx}{e^{x/2}}$
ラプラス変換が見えますが、その前に$x$を$-x$に置き換えて被積分関数を偶関数にします。
$=\displaystyle\int_0^\infty\frac{xe^x(e^{-x/2}-e^{x/2})}{(x^2+\pi^2)(1+e^x)^2}dx \\=\displaystyle-\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{x\sinh\frac{x}{2}}{(x^2+\pi^2)\cosh^2\frac{x}{2}}dx$
ここで、$\frac{\sinh x}{\cosh^2x}$という形を見ると$\frac{1}{\cosh x}$の微分であると気付きます。
従って次のような変形をします。
$=\displaystyle\left.\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\int_0^\infty\frac{1}{(x^2+\pi^2)\cosh tx}dx\right|_{t=\frac{1}{2}}$
よって、この積分を求めればよいのですがこれはすぐに求まりそうです。
ここでラプラス変換が登場します。
$\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{(x^2+\pi^2)\cosh tx}dx \\=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\frac{1}{\cosh tx}\int_0^\infty\cos xye^{-\pi y}dydx \\=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_0^\infty e^{-\pi y}\int_0^\infty\frac{\cos xy}{\cosh tx}dxdy$
このツイートの式を使います。 https://twitter.com/tria_math/status/1268491322802835456?s=19
$=\displaystyle\frac{1}{2t}\int_0^\infty\frac{e^{-\pi y}}{\cosh\frac{\pi y}{2t}}dy$
置換してディガンマ関数の積分表示の形にします。
$=\displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{x^{2t}}{x^2+1}dx \\=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_0^1\frac{(1-\sqrt{x})x^{t/2-3/4}}{1-x}dx \\=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\left(\psi\left(\frac{t}{2}+\frac{3}{4}\right)-\psi\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\right)\right)$
あとは微分すればOKです。
$\displaystyle\left.\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\int_0^\infty\frac{1}{(x^2+\pi^2)\cosh tx}dx\right|_{t=\frac{1}{2}} \\=\displaystyle\left.\frac{1}{4\pi}\frac{d}{dt}\left(\psi\left(\frac{t}{2}+\frac{3}{4}\right)-\psi\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\right)\right)\right|_{t=\frac{1}{2}} \\=\displaystyle\frac{1}{8\pi}\left(\psi'(1)-\psi'\left(\frac{1}{2}\right)\right) \\=\displaystyle\frac{1}{8\pi}\left(\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{2}\right) \\=\displaystyle-\frac{\pi}{24}$
まずは$\log x$を$x$に置換します。
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{xe^x}{(x^2+\pi^2)(1+e^x)^2}\frac{dx}{e^{x/2}}$
ラプラス変換が見えますが、その前に$x$を$-x$に置き換えて被積分関数を偶関数にします。
$=\displaystyle\int_0^\infty\frac{xe^x(e^{-x/2}-e^{x/2})}{(x^2+\pi^2)(1+e^x)^2}dx \\=\displaystyle-\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{x\sinh\frac{x}{2}}{(x^2+\pi^2)\cosh^2\frac{x}{2}}dx$
ここで、$\frac{\sinh x}{\cosh^2x}$という形を見ると$\frac{1}{\cosh x}$の微分であると気付きます。
従って次のような変形をします。
$=\displaystyle\left.\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\int_0^\infty\frac{1}{(x^2+\pi^2)\cosh tx}dx\right|_{t=\frac{1}{2}}$
よって、この積分を求めればよいのですがこれはすぐに求まりそうです。
ここでラプラス変換が登場します。
$\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{(x^2+\pi^2)\cosh tx}dx \\=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\frac{1}{\cosh tx}\int_0^\infty\cos xye^{-\pi y}dydx \\=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_0^\infty e^{-\pi y}\int_0^\infty\frac{\cos xy}{\cosh tx}dxdy$
このツイートの式を使います。 https://twitter.com/tria_math/status/1268491322802835456?s=19
$=\displaystyle\frac{1}{2t}\int_0^\infty\frac{e^{-\pi y}}{\cosh\frac{\pi y}{2t}}dy$
置換してディガンマ関数の積分表示の形にします。
$=\displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{x^{2t}}{x^2+1}dx \\=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_0^1\frac{(1-\sqrt{x})x^{t/2-3/4}}{1-x}dx \\=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\left(\psi\left(\frac{t}{2}+\frac{3}{4}\right)-\psi\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\right)\right)$
あとは微分すればOKです。
$\displaystyle\left.\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\int_0^\infty\frac{1}{(x^2+\pi^2)\cosh tx}dx\right|_{t=\frac{1}{2}} \\=\displaystyle\left.\frac{1}{4\pi}\frac{d}{dt}\left(\psi\left(\frac{t}{2}+\frac{3}{4}\right)-\psi\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\right)\right)\right|_{t=\frac{1}{2}} \\=\displaystyle\frac{1}{8\pi}\left(\psi'(1)-\psi'\left(\frac{1}{2}\right)\right) \\=\displaystyle\frac{1}{8\pi}\left(\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{2}\right) \\=\displaystyle-\frac{\pi}{24}$
証明できました。
投稿日：2021年3月8日
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