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大学数学基礎解説

積分botさんの積分(1)

積分,積分bot

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積分botさん ( https://twitter.com/integralsbot?s=09 ) のこの式を証明します。

\int_{0}^{\infty} \frac{\ln x}{(\ln^{2} x + π^{2}) (1 + x)^{2}} \frac{d x}{\sqrt{x}} = - \frac{π}{24}

https://twitter.com/integralsbot/status/1368527027536494595?s=19

(証明)
まずは

\log x

を

x

に置換します。

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{x e^{x}}{(x^{2} + π^{2}) (1 + e^{x})^{2}} \frac{d x}{e^{x / 2}}

ラプラス変換が見えますが、その前に

x

を

- x

に置き換えて被積分関数を偶関数にします。

= \int_{0}^{\infty} \frac{x e^{x} (e^{- x / 2} - e^{x / 2})}{(x^{2} + π^{2}) (1 + e^{x})^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{x \sinh \frac{x}{2}}{(x^{2} + π^{2}) \cosh^{2} \frac{x}{2}} d x

ここで、

\frac{\sinh x}{\cosh^{2} x}

という形を見ると

\frac{1}{\cosh x}

の微分であると気付きます。
従って次のような変形をします。

= {\frac{1}{2} \frac{d}{d t} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{2} + π^{2}) \cosh t x} d x |}_{t = \frac{1}{2}}

よって、この積分を求めればよいのですがこれはすぐに求まりそうです。
ここでラプラス変換が登場します。

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{2} + π^{2}) \cosh t x} d x = \frac{1}{π} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\cosh t x} \int_{0}^{\infty} \cos x y e^{- π y} d y d x = \frac{1}{π} \int_{0}^{\infty} e^{- π y} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x y}{\cosh t x} d x d y

このツイートの式を使います。 https://twitter.com/tria_math/status/1268491322802835456?s=19

= \frac{1}{2 t} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- π y}}{\cosh \frac{π y}{2 t}} d y

置換してディガンマ関数の積分表示の形にします。

= \frac{2}{π} \int_{0}^{1} \frac{x^{2 t}}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{1} \frac{(1 - \sqrt{x}) x^{t / 2 - 3 / 4}}{1 - x} d x = \frac{1}{2 π} (ψ (\frac{t}{2} + \frac{3}{4}) - ψ (\frac{t}{2} + \frac{1}{4}))

あとは微分すればOKです。

{\frac{1}{2} \frac{d}{d t} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{2} + π^{2}) \cosh t x} d x |}_{t = \frac{1}{2}} = {\frac{1}{4 π} \frac{d}{d t} (ψ (\frac{t}{2} + \frac{3}{4}) - ψ (\frac{t}{2} + \frac{1}{4})) |}_{t = \frac{1}{2}} = \frac{1}{8 π} (ψ^{'} (1) - ψ^{'} (\frac{1}{2})) = \frac{1}{8 π} (\frac{π^{2}}{6} - \frac{π^{2}}{2}) = - \frac{π}{24}

証明できました。

投稿日：2021年3月8日

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