前回( https://mathlog.info/articles/1901 )
21個目
これはなかなか計算が大変でした.
まず,
よって, 解析接続により,
となる定数
よって,
ここで,
より,
よって,
これを先ほどの式に代入すればよい.
22個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361264323922780163 )
引き続き計算が重そうな式ですね. Fubiniの定理を使ってみましょう.
Fubiniの定理より,
ここから
これを先ほどの式に代入すればよい.
23個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361269865793921028 )
とりあえず, 項別積分でうまくいきそうですね.
まず, 最初に
であることを思い出しておきます. (証明は
https://www.researchgate.net/publication/26532996_Integer_Powers_of_Arcsin
を参照)
24個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361280330779426818 )
とりあえず, Mellin変換すればいい感じですね.
ここで,
ここで,
これを先ほどの式に代入すればよい.
25個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361287489961525251 )
これは, 全く分からない. 被積分関数にいい感じの性質があるんですかね.
26個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361301353319059457 )
留数定理か, と思ったけど, なんか
まず,
とする.
より,
よって, ある定数
よく知られた等式,
より,
27個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361316409138159616 )
今度こそ留数定理ですね.
まず, 方程式
ここで, 虚部の絶対値が
積分路1
ここで, 上のような積分路
ここで,
最後に留数を求めて,
28個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361325388425699329 )
見た目がすごいですね, ちょっと形を整理してみますと,
の
と書き直せることに気づきました. が, 解けませんでいた.
29個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361330254808236035 )
めっちゃ難しかった, うまい置換が思いつくまで, 全然分からない. でもやっぱ超幾何関数好きとしては, こういうのはちゃんと証明しておきたいと思ってます.
とりあえず,
を示します.
まず, 両辺の連続性から,
なので, 最初から
よって,
を示せばよい.
より, 最初から
を示せばよい. これはGaussの超幾何積分になっているので,
ここで, Legendreの倍角公式より,
また, 超幾何関数に関する等式,
より,
これらを合わせて,
を得る.
30個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361339989678649344 )
見慣れない関数なので, まず定義を確認します.
で定義されます.
まず,
定義より,
である. また,
これを用いて,
より,
また,
だから,
これより,
また,
これより,
今回もなかなか大変でしたが, 8個示せたので, これで示せたのは24個ですね. 100個めざしていきたいと思います.