半角の公式の証明

まず、半角の公式とは、
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}\\ {\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}\\ {\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }\end{array}\end{array}$$
という公式である。
よく倍角の公式から変形して示すことが多いが、直接示す方法でもできそうだったのでやってみた。($\tan$は$\frac{\sin }{\cos }$を計算するだけなので省略)

$\mathrm{\angle }AOB=\theta (0\le \theta <\frac{\pi }{2})$とおき、$OC$は$OA$と$OB$の角二等分線、円の半径は1とする。
すると、$\sin \frac{\theta }{2}=CD,\cos \frac{\theta }{2}=OC$になるのでこれらの長さが求まればよい。
まず$AB=\sin \theta ,OB=\cos \theta$であり、角の二等分線定理より$AE:EB=1:\sin \theta$なので、$BE=\frac{\sin \theta \cos \theta }{1+\cos \theta }$となる。
次は$OE$の長さを求める。三平方の定理より、$OE=O{B}^2+E{B}^2$である。
よって、$$\begin{gathered} OE=\sqrt{{\cos }^2\theta +(\frac{\sin \theta \cos \theta }{1+\cos \theta }{)}^2}=\sqrt{co{s}^2\theta +\frac{(1-{\cos }^2\theta ){\cos }^2\theta }{(1+\cos \theta {)}^2}}=\sqrt{\frac{2{\cos }^2\theta +2{\cos }^3\theta }{(1+\cos \theta {)}^2}} \\ =\sqrt{2}\cos \theta \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{(1+\cos \theta {)}^2}}=\sqrt{2}\frac{\cos \theta }{1+\cos \theta }\sqrt{1+\cos \theta } \end{gathered}$$
そして、ついに$CD$と$OC$の長さを求められる所まで来た。
$\mathrm{△}OBE\sim \mathrm{△}OCD$より$CD=\frac{OA\cdot OD}{OE},OC=\frac{AE\cdot OD}{OE}$なので、
$CD=\frac{\sin \theta \cos \theta }{1+\cos \theta }\cdot \frac{1+\cos \theta }{\sqrt{2}\cos \theta \sqrt{1+\cos \theta }}=\sqrt{\frac{{\sin }^2\theta }{2(1+\cos \theta )}}=\sqrt{\frac{1-{\cos }^2\theta }{2(1+\cos \theta )}}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$
$OC=\cos \theta \frac{1+\cos \theta }{\sqrt{2}\cos \theta \sqrt{1+\cos \theta }}=\sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$
よって、$0\le \theta <\frac{\pi }{2}$の時、
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}\\ \cos \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}\end{array}\end{array}$$
ということが導けた。両辺を2乗すれば半角の公式になる。
$\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$などを使えば、$\theta$の範囲を$0\le \theta <2\pi$に拡張できるだろう。