びぶんせきぶん

$(\boldsymbol R\supset)E\ne\emptyset$とする．

• $E$は上に有界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$${}^\exists M\in\boldsymbol R[x\in E\implies x\le M]$
• $E$は下に有界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$${}^\exists M\in\boldsymbol R[x\in E\implies x\ge M]$
• $A\in\boldsymbol R$が$E$の上界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$$A$が「$x\in E\implies x\le A$」を満たす
• $A\in\boldsymbol R$が$E$の下界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$$A$が「$x\in E\implies x\ge A$」を満たす
• $E$が上に有界のとき，$E$の最小上界を$E$の上限といい，$\sup E$と書く．
• $E$が上に有界でないときは$E$の上限は$+\infty$と定める．
• $E$が下に有界のとき，$E$の最大下限を$E$の下限といい，$\inf E$と書く．
• $E$が下に有界でないときは$E$の下限は$-\infty$と定める．

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=b \stackrel{\mathrm{def}}{\iff}{}^\forall\epsilon>0,{}^\exists n_0\in\boldsymbol N[n\ge n_0\implies|a_n-b|<\epsilon] $$

$$ \lim_{x\to a}f(x)=b \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} {}^\forall\epsilon>0,{}^\exists\delta>0[0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-b|<\epsilon] $$

関数$f(x)$が区間$I$において，各$y_0\in\{f(x)|x\in I\}$に対して，$y_0=f(x_0)$を満たす$x_0\in I$がただ一つ存在するとき，このような$\{f(x)|x\in I\}$から$I$への対応を$f^{-1}$とすると，$f^{-1}$は関数となる．このような$f^{-1}$を$f$の逆関数という．

関数$f(x)$が，$x=a$で連続$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$即ち${}^\forall\epsilon>0,{}^\exists\delta>0[0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-f(a)|<\epsilon]$

1. $y=f(x)$が，$x=x_0$で微分可能$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$(*)$\displaystyle{}^\exists\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\quad(\in\boldsymbol R)$
2. (1)のとき(*)を$f'(x_0)$と書き，「$f(x)$の$x=x_0$における微分係数」という．

$y=f(x)$が，$x=x_0$で微分可能$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$実数$\alpha\in\boldsymbol R$が存在して次式が存在する．
\begin{gather*} f(x)=f(x_0)+\alpha(x-x_0)+\epsilon(x)\\ \left(\lim_{x\to x_0}\frac{\epsilon(x)}{x-x_0}=0\right) \end{gather*}

そして，このとき$\alpha$を$f'(x_0)$と書き，$f(x)$の$x=x_0$における微分係数と呼ぶ．

$(a_n)_{n\in\boldsymbol N_0}$を実数列，$a$を実数とする．このとき
$$ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n $$
の形の関数を$x=a$中心の整級数という．

整級数が収束する$x\in\boldsymbol R$の範囲を（その整級数の）収束域という．

$x=0$中心の整級数に関し，収束域を$A(\subset\boldsymbol R)$として，
$$ l\stackrel{\mathrm{def}}=\sup\{|x|:x\in A\}(\in[0,+\infty]) $$
を，収束半径という．

$f(x)$を有界閉区間$[a,b]$上の実数値関数とする．このとき$[a,b]$の分割$\Delta$
$$ \Delta:a=x_0< x_1<\cdots< x_m=l $$
に対し，
$$ |\Delta|\stackrel{\mathrm{def}}=\max_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1}) $$
とおく．

各小区間$[x_{i-1},x_i]\ (i=1,\ldots,n)$の中に，任意に一点$\xi_i\ (\xi=(\xi_i)_{i\in\boldsymbol N_+})$をとって，作った和
$$ S(f,\Delta,\xi)\stackrel{\mathrm{def}}=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) $$
を分割$\Delta$,代表点$\xi$に関する$f$の Riemann 和という．

$[a,b]$の分割$\Delta$及び代表点$\xi=(\xi)_i$のとり方に依らずに
$$ \text{「$\lim_{|\Delta|\to0}S(f,\Delta,\xi)$が一定の値を有する」} $$
とき
$$ \int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\lim_{|\Delta|\to0}S(f,\Delta,\xi) $$
と定義し，$f$は$[a,b]$上で Riemann 積分可能といい，$\int_a^bf(x)\,dx$を$f$の$[a,b]$上の Riemann 積分（定積分）という．

[注]$a=b$の場合は
$$ \int_a^bf(x)\,dx=0 $$
$a>b$の場合は
$$ \int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^af(x)\,dx $$
とする．

与えられた関数$f(x)$に対し
$$ F'(x)=f(x) $$
となる関数$F(x)$を$f(x)$の原始関数といい，
$$ \int f(x)\,dx $$
なる記号で表す．

$-\infty< a< c< b<+\infty$とする．

(i) $$ f(x)\ (a< x\le b): \left\{ \begin{aligned} &\text{(イ)$x=a$の近傍で非有界}\\ &\text{(ロ)$[a+\epsilon,b]\ ({}^\forall\epsilon>0:\text{十分小})$では Riemann 積分可能} \end{aligned} \right. $$
$$ \int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\lim_{\epsilon\to+0}\int_{a+\epsilon}^bf(x)\,dx $$

(ii) $$ f(x)\ (a< x< b): \left\{ \begin{aligned} &\text{(イ)$x=a,b$の近傍で非有界}\\ &\text{(ロ)$[a+\epsilon_1,b-\epsilon_2]\ ({}^\forall\epsilon_1,\epsilon_2>0:\text{十分小})$では Riemann 積分可能} \end{aligned} \right. $$
$$ \int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\lim_{\epsilon_1,\epsilon_2\to+0}\int_{a+\epsilon_1}^{b-\epsilon_2}f(x)\,dx $$

(iii) $$ f(x)\ (a< x< b): \left\{ \begin{aligned} &\text{(イ)$x=c$の近傍で非有界}\\ &\text{(ロ)$[a,c-\epsilon_1]\text{及び}[c+\epsilon_2,b]\ ({}^\forall\epsilon_1,\epsilon_2>0:\text{十分小})$では Riemann 積分可能} \end{aligned} \right. $$
$$ \int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx $$