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大学数学基礎解説
文献あり

びぶんせきぶん

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微積の授業で習った定義や定理を復習がてらにメモっただけです.ほぼ自分用です.証明や具体例はほとんどすっとばしているクソ記事です.気が向いたら書きます.これから追記していきます.

実数の連続性

上界,下界,上限,下限,最大値,最小値

$(\boldsymbol R\supset)E\ne\emptyset$とする.

  • $E$上に有界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$${}^\exists M\in\boldsymbol R[x\in E\implies x\le M]$
  • $E$下に有界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$${}^\exists M\in\boldsymbol R[x\in E\implies x\ge M]$
  • $A\in\boldsymbol R$$E$上界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$$A$が「$x\in E\implies x\le A$」を満たす
  • $A\in\boldsymbol R$$E$下界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$$A$が「$x\in E\implies x\ge A$」を満たす
  • $E$が上に有界のとき,$E$の最小上界を$E$上限といい,$\sup E$と書く.
  • $E$が上に有界でないときは$E$の上限は$+\infty$と定める.
  • $E$が下に有界のとき,$E$の最大下限を$E$下限といい,$\inf E$と書く.
  • $E$が下に有界でないときは$E$の下限は$-\infty$と定める.

実数の連続性

$\boldsymbol R$の空でない部分集合に関して,上に有界ならば上限が存在する.

数列の極限

数列の極限

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=b \stackrel{\mathrm{def}}{\iff}{}^\forall\epsilon>0,{}^\exists n_0\in\boldsymbol N[n\ge n_0\implies|a_n-b|<\epsilon] $$

極限の基本性質

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a,\lim_{n\to\infty}b_n=b$とする.
(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=a\pm b$
(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=ab$
(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac ab\quad(b\ne0)$
(4) $a_n\le b_n$ならば$a\le b$

はさみうちの定理

$a_n\le c_n\le b_n$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=a$ならば$\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=a$

関数の極限

関数の極限

$$ \lim_{x\to a}f(x)=b \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} {}^\forall\epsilon>0,{}^\exists\delta>0[0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-b|<\epsilon] $$

極限の基本性質

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l,\lim_{x\to a}g(x)=m$とする.
(1) $\displaystyle\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=l\pm m$
(2) $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)=lm$
(3) $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac lm\quad(m\ne0)$
(4) $f(x)\le g(x)$ならば$l\le m$

はさみうちの定理

$f(x)\le h(x)\le g(x)$$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=l$ならば$\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=l$

逆関数

逆関数

関数$f(x)$が区間$I$において,各$y_0\in\{f(x)|x\in I\}$に対して,$y_0=f(x_0)$を満たす$x_0\in I$がただ一つ存在するとき,このような$\{f(x)|x\in I\}$から$I$への対応を$f^{-1}$とすると,$f^{-1}$は関数となる.このような$f^{-1}$$f$逆関数という.

関数の連続性

連続関数

関数$f(x)$が,$x=a$で連続$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$即ち${}^\forall\epsilon>0,{}^\exists\delta>0[0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-f(a)|<\epsilon]$

微分法

微分の定義

微分係数I
  1. $y=f(x)$が,$x=x_0$で微分可能$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$(*)$\displaystyle{}^\exists\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\quad(\in\boldsymbol R)$
  2. (1)のとき(*)を$f'(x_0)$と書き,「$f(x)$$x=x_0$における微分係数」という.
微分係数II

$y=f(x)$が,$x=x_0$で微分可能$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$実数$\alpha\in\boldsymbol R$が存在して次式が存在する.
\begin{gather*} f(x)=f(x_0)+\alpha(x-x_0)+\epsilon(x)\\ \left(\lim_{x\to x_0}\frac{\epsilon(x)}{x-x_0}=0\right) \end{gather*}

そして,このとき$\alpha$$f'(x_0)$と書き,$f(x)$$x=x_0$における微分係数と呼ぶ.

逆関数の微分法

\begin{align*} y=f^{-1}(x) \implies \frac{dy}{dx}&=\frac1{\frac{dx}{dy}}\quad\left(\text{$\frac{dx}{dy}\ne0$なる点で}\right)\\ &=\frac1{f'(y)}=\frac1{f'(f^{-1}(x))} \end{align*}

Leibniz の公式

$$ \{f(x)g(x)\}^{(n)}=\sum_{r=0}^n{}_nC_rf^{(r)}(x)g^{(n-r)}(x) $$

平均値定理

関数$f(x)$$[a,b]$で連続かつ$(a,b)$で微分可能ならば$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$を満たす$c\ (a< c< b)$が存在する.

l'Hospital の定理
  1. $$ \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0\ (\text{or}\pm\infty). $$

  2. $a$の除外近傍で,$g'(x)\ne0$
    $$ \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l\quad(\in[-\infty,\infty]). $$

(1), (2) が成立するとき
$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=l. $$

Maclaurin の定理

$f(x)$$x=0$の近傍で$n$回微分可能ならば
$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+R_n $$
但し
$$ R_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^n\quad(0\le c\le x). $$

このとき$n\to\infty$$R_n\to0$になるとき Maclaurin 展開になる.

Taylor の定理

$f(x)$$x=a$の近傍で$n$回微分可能ならば
$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n $$
但し
$$ R_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n\quad(a\le c\le x). $$

このとき$n\to\infty$$R_n\to0$になるとき Taylor 展開になる.

整級数

整級数

$(a_n)_{n\in\boldsymbol N_0}$を実数列,$a$を実数とする.このとき
$$ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n $$
の形の関数を$x=a$中心の整級数という.

整級数が収束する$x\in\boldsymbol R$の範囲を(その整級数の)収束域という.

以下では,簡単の為($X\stackrel{\mathrm{def}}=x-a$と置き換えることにより)$x=0$中心の整級数を扱う:
$$ \sum_{n=0}^\infty a_nx^n $$

このとき,次が成り立つ.

$x=0$中心の整級数に関し,次の3つの場合のみ起こる.
(R1) $x=0$のみで収束
(R2) ${}^\forall x\in\boldsymbol R$で収束
(R3) ある$r>0$が存在し「${}^\forall|x|< r$で収束かつ${}^\forall|x|>r$で発散」

[注] (iii) の場合,$x=\pm r$で収束するか発散するかは個々の整級数に依る.

収束半径

$x=0$中心の整級数に関し,収束域を$A(\subset\boldsymbol R)$として,
$$ l\stackrel{\mathrm{def}}=\sup\{|x|:x\in A\}(\in[0,+\infty]) $$
を,収束半径という.

項別積分・項別微分

$$ \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\text{:収束半径$l\ne0$の整級数} $$

  1. (項別積分) ${}^\forall|x|< l$に対し
    $$ \int_0^x\sum_{n=0}^\infty a_nt^n\,dt=\sum_{n=0}^\infty\int_0^xa_nt^n\,dt\left(=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\right) $$
    しかも,最右辺の整級数の収束半径も$l$となる.従って項別積分は何回でも行える.
  2. (項別微分) ${}^\forall|x|< l$に対し
    $$ \frac d{dx}\sum_{n=0}^\infty a_nt^n=\sum_{n=1}^\infty\frac d{dx}a_nt^n\left(=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}\right) $$
    しかも,最右辺の整級数の収束半径も$l$となる.従って項別微分は何回でも行える.

ある関数$f(x)$が,$x=0$中心の(収束半径$\ne0$の)整級数で表せるとき,それは Maclaurin 展開となっている.すなわちその表現は一意である.

$f(x)$は各$x(|x|< l)$に関し何回でも項別微分可能であることを用いる.
$$ f^{(n)}(0)=n!a_n \quad\therefore a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}. $$
これは Maclaurin 展開である.

積分法

Riemann 積分

Riemann 積分

$f(x)$を有界閉区間$[a,b]$上の実数値関数とする.このとき$[a,b]$の分割$\Delta$
$$ \Delta:a=x_0< x_1<\cdots< x_m=l $$
に対し,
$$ |\Delta|\stackrel{\mathrm{def}}=\max_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1}) $$
とおく.

各小区間$[x_{i-1},x_i]\ (i=1,\ldots,n)$の中に,任意に一点$\xi_i\ (\xi=(\xi_i)_{i\in\boldsymbol N_+})$をとって,作った和
$$ S(f,\Delta,\xi)\stackrel{\mathrm{def}}=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) $$
分割$\Delta$,代表点$\xi$に関する$f$の Riemann 和という.

$[a,b]$の分割$\Delta$及び代表点$\xi=(\xi)_i$のとり方に依らずに
$$ \text{「$\lim_{|\Delta|\to0}S(f,\Delta,\xi)$が一定の値を有する」} $$
とき
$$ \int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\lim_{|\Delta|\to0}S(f,\Delta,\xi) $$
と定義し,$f$$[a,b]$上で Riemann 積分可能といい,$\int_a^bf(x)\,dx$$f$$[a,b]$上の Riemann 積分(定積分)という.

[注]$a=b$の場合は
$$ \int_a^bf(x)\,dx=0 $$
$a>b$の場合は
$$ \int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^af(x)\,dx $$
とする.

$f$$[a,b]$上で Riemann 積分可能ならば$f$$[a,b]$上で有界関数である.

定積分の基本性質

関数$f(x),g(x)$が有界閉区間$I$で Riemann 積分可能かつ$a,b,c\in I$ならば

I] $|f(x)|$も,$I$上で Riemann 積分可能

II]

(1)
$$ \int_a^b\{f(x)\pm g(x)\}\,dx=\int_a^bf(x)\,dx\pm\int_a^bg(x)\,dx $$

(2)
$$ \int_a^bkf(x)\,dx=k\int_a^bf(x)\,dx\quad(x\in\boldsymbol R) $$

(3)
$$ \int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx $$

III]

  1. $a\le b$かつ$g(x)\le f(x)$ならば
    $$ \int_a^bg(x)\,dx\le\int_a^bf(x)\,dx. $$
    さらに,$f(x),g(x)$共に連続で$g(x)\not\equiv f(x)\ (a\le x\le b)$ならば
    $$ \int_a^bg(x)\,dx<\int_a^bf(x)\,dx. $$

  2. $a$$b$の大小に依らず
    $$ \left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\le\left|\int_a^b|f(x)|\,dx\right| $$

(ここ上手く箇条書きにできませんでした…いい方法あったら教えて下さい…)

微分積分学の基本定理

微分積分学の基本定理

関数$f(x)$$[a,b]$上で連続ならば

  1. $$ \frac d{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)\quad(a\le x\le b). $$
    (但し$x=a$では右微分,$x=b$では左微分)
  2. $G'(x)=f(x)$となる関数$G(x)$を用いると
    $$ \int_a^bf(x)\,dx=G(b)-G(a). $$

(1)
$$ F(x)\stackrel{\mathrm{def}}=\int_a^xf(t)\,dt\quad(a\le x\le b) $$
とおく.

${}^\forall x_0\in[a,b]$をとる.以下,
$$ {}^\exists F'(x_0)=f(x_0) $$
となることを示す.

i) $a< x_0< b$のとき,${}^\forall\epsilon>0$をとる.仮定から,$f(t)$$t=x_0$で連続ゆえ,
$$ {}^\exists\delta>0\bigl[t\in[x_0-\delta,x_0+\delta]\ (\subset[a,b])\implies|f(t)-f(x_0)|<\epsilon\bigr]. $$

従って,$0<|h|<\delta$のとき
\begin{align*} \left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h-f(x_0)\right| &=\left|\frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,dt-\frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)\,dt\right|\\ &=\frac1{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\{f(t)-f(x_0)\}\,dt\right|\\ &\le\frac1{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}|f(t)-f(x_0)|\,dt\right|\\ &\le\frac1{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\epsilon\,dt\right|\\ &=\epsilon. \end{align*}

これは
$$ \lim_{h\to0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h=f(x_0) $$
を示している.つまり
$$ F'(x_0)=f(x_0). $$

ii) $x_0=a,b$のときも同様.

(2)

仮定から
$$ G'(x)=f(x)\quad(a\le x\le b). $$

また,(1)から,
$$ F'(x)=f(x)\quad(a\le x\le b). $$

両者を辺々引いて
$$ (F(x)-G(x))'=0\quad(a\le x\le b). $$

従って,微分法の平均値定理から,
$$ F(x)-G(x)=(\text{定数})\quad(a\le x\le b). $$

$x=a$として,($F(a)=0$と合わせて)
$$ (\text{定数})=-G(a). $$

故に
$$ \int_a^xf(t)\,dt=F(x)=G(x)-G(a)\quad(a\le x\le b). $$

特に,$x=b$とすれば,
$$ \int_a^bf(t)\,dt=G(b)-G(a) $$

原始関数

与えられた関数$f(x)$に対し
$$ F'(x)=f(x) $$
となる関数$F(x)$$f(x)$原始関数といい,
$$ \int f(x)\,dx $$
なる記号で表す.

不連続点を含む関数の積分

関数$f(x)\ (a\le x\le b)$が有限個の点を除き連続かつ有界ならば$f(x)$$[a,b]$上で Riemann 積分可能.

関数$f(x)$$[a,b]$上で,Riemann 積分可能ならば${}^\forall c\in[a,b]$に対し,
$$ F(x)\stackrel{\mathrm{def}}=\int_c^xf(t)\,dt\quad(a\le x\le b) $$
は連続.

もっと詳しく,次が成り立つ:

ある定数$M>0$が存在して
$$ |F(x_1)-F(x_2)|\le M|x_1-x_2|\quad({}^\forall x_1,x_2\in[a,b]). $$

広義 Riemann 積分

広義 Riemann 積分

$-\infty< a< c< b<+\infty$とする.

(i) $$ f(x)\ (a< x\le b): \left\{ \begin{aligned} &\text{(イ)$x=a$の近傍で非有界}\\ &\text{(ロ)$[a+\epsilon,b]\ ({}^\forall\epsilon>0:\text{十分小})$では Riemann 積分可能} \end{aligned} \right. $$
$$ \int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\lim_{\epsilon\to+0}\int_{a+\epsilon}^bf(x)\,dx $$

(ii) $$ f(x)\ (a< x< b): \left\{ \begin{aligned} &\text{(イ)$x=a,b$の近傍で非有界}\\ &\text{(ロ)$[a+\epsilon_1,b-\epsilon_2]\ ({}^\forall\epsilon_1,\epsilon_2>0:\text{十分小})$では Riemann 積分可能} \end{aligned} \right. $$
$$ \int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\lim_{\epsilon_1,\epsilon_2\to+0}\int_{a+\epsilon_1}^{b-\epsilon_2}f(x)\,dx $$

(iii) $$ f(x)\ (a< x< b): \left\{ \begin{aligned} &\text{(イ)$x=c$の近傍で非有界}\\ &\text{(ロ)$[a,c-\epsilon_1]\text{及び}[c+\epsilon_2,b]\ ({}^\forall\epsilon_1,\epsilon_2>0:\text{十分小})$では Riemann 積分可能} \end{aligned} \right. $$
$$ \int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx $$

参考文献

[1]
高橋泰嗣・ 加藤幹雄, 微分積分概論, サイエンス社, 2020
投稿日:2021310

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