大学数学基礎解説

文献あり

びぶんせきぶん

微分積分,解析学,微分積分学

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微積の授業で習った定義や定理を復習がてらにメモっただけです．ほぼ自分用です．証明や具体例はほとんどすっとばしているクソ記事です．気が向いたら書きます．これから追記していきます．

実数の連続性

上界，下界，上限，下限，最大値，最小値

$(R \supset) E \neq \emptyset$ とする．

$E$ は上に有界 $\overset{def}{⟺}$ $^{\exists} M \in R [x \in E ⟹ x \leq M]$
$E$ は下に有界 $\overset{def}{⟺}$ $^{\exists} M \in R [x \in E ⟹ x \geq M]$
$A \in R$ が $E$ の上界 $\overset{def}{⟺}$ $A$ が「 $x \in E ⟹ x \leq A$ 」を満たす
$A \in R$ が $E$ の下界 $\overset{def}{⟺}$ $A$ が「 $x \in E ⟹ x \geq A$ 」を満たす
$E$ が上に有界のとき， $E$ の最小上界を $E$ の上限といい， $sup E$ と書く．
$E$ が上に有界でないときは $E$ の上限は $+ \infty$ と定める．
$E$ が下に有界のとき， $E$ の最大下限を $E$ の下限といい， $inf E$ と書く．
$E$ が下に有界でないときは $E$ の下限は $- \infty$ と定める．

実数の連続性

$R$ の空でない部分集合に関して，上に有界ならば上限が存在する．

数列の極限

$lim_{n \to \infty} a_{n} = b \overset{def}{⟺}^{\forall} ϵ > 0,^{\exists} n_{0} \in N [n \geq n_{0} ⟹ | a_{n} - b | < ϵ]$

極限の基本性質

$lim_{n \to \infty} a_{n} = a, lim_{n \to \infty} b_{n} = b$ とする．
(1) $lim_{n \to \infty} (a_{n} \pm b_{n}) = a \pm b$
(2) $lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = a b$
(3) $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b} (b \neq 0)$
(4) $a_{n} \leq b_{n}$ ならば $a \leq b$

はさみうちの定理

$a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$ ， $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = a$ ならば $lim_{n \to \infty} c_{n} = a$ ．

関数の極限

$lim_{x \to a} f (x) = b \overset{def}{⟺}^{\forall} ϵ > 0,^{\exists} δ > 0 [0 < | x - a | < δ ⟹ | f (x) - b | < ϵ]$

極限の基本性質

$lim_{x \to a} f (x) = l, lim_{x \to a} g (x) = m$ とする．
(1) $lim_{x \to a} (f (x) \pm g (x)) = l \pm m$
(2) $lim_{x \to a} f (x) g (x) = l m$
(3) $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{l}{m} (m \neq 0)$
(4) $f (x) \leq g (x)$ ならば $l \leq m$

はさみうちの定理

$f (x) \leq h (x) \leq g (x)$ ， $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = l$ ならば $lim_{x \to a} h (x) = l$ ．

逆関数

関数 $f (x)$ が区間 $I$ において，各 $y_{0} \in {f (x) | x \in I}$ に対して， $y_{0} = f (x_{0})$ を満たす $x_{0} \in I$ がただ一つ存在するとき，このような ${f (x) | x \in I}$ から $I$ への対応を $f^{- 1}$ とすると， $f^{- 1}$ は関数となる．このような $f^{- 1}$ を $f$ の逆関数という．

関数の連続性

連続関数

関数 $f (x)$ が， $x = a$ で連続 $\overset{def}{⟺}$ $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ 即ち $^{\forall} ϵ > 0,^{\exists} δ > 0 [0 < | x - a | < δ ⟹ | f (x) - f (a) | < ϵ]$

微分法

微分の定義

微分係数I

$y = f (x)$ が， $x = x_{0}$ で微分可能 $\overset{def}{⟺}$ (*) $^{\exists} lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} (\in R)$
(1)のとき(*)を $f^{'} (x_{0})$ と書き，「 $f (x)$ の $x = x_{0}$ における微分係数」という．

微分係数II

$y = f (x)$ が， $x = x_{0}$ で微分可能 $\overset{def}{⟺}$ 実数 $α \in R$ が存在して次式が存在する．
$\begin{matrix} f (x) = f (x_{0}) + α (x - x_{0}) + ϵ (x) \\ (lim_{x \to x_{0}} \frac{ϵ (x)}{x - x_{0}} = 0) \end{matrix}$

そして，このとき $α$ を $f^{'} (x_{0})$ と書き， $f (x)$ の $x = x_{0}$ における微分係数と呼ぶ．

逆関数の微分法

$\begin{aligned} y = f^{- 1} (x) ⟹ \frac{d y}{d x} & = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} (\frac{d x}{d y} \neq 0 なる点で) \\ = \frac{1}{f^{'} (y)} = \frac{1}{f^{'} (f^{- 1} (x))} \end{aligned}$

Leibniz の公式

${f (x) g (x)}^{(n)} = \sum_{r = 0}^{n}_{n} C_{r} f^{(r)} (x) g^{(n - r)} (x)$

平均値定理

関数 $f (x)$ が $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ で微分可能ならば $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (c)$ を満たす $c (a < c < b)$ が存在する．

l'Hospital の定理

$lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0 (or \pm \infty) .$
$a$ の除外近傍で， $g^{'} (x) \neq 0$ で
$lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = l (\in [- \infty, \infty]) .$

(1), (2) が成立するとき
$lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = l .$

Maclaurin の定理

$f (x)$ が $x = 0$ の近傍で $n$ 回微分可能ならば
$f (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} + R_{n}$
但し
$R_{n} = \frac{f^{(n)} (c)}{n!} x^{n} (0 \leq c \leq x) .$

このとき $n \to \infty$ で $R_{n} \to 0$ になるとき Maclaurin 展開になる．

Taylor の定理

$f (x)$ が $x = a$ の近傍で $n$ 回微分可能ならば
$f (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k} + R_{n}$
但し
$R_{n} = \frac{f^{(n)} (c)}{n!} (x - a)^{n} (a \leq c \leq x) .$

このとき $n \to \infty$ で $R_{n} \to 0$ になるとき Taylor 展開になる．

整級数

$(a_{n})_{n \in N_{0}}$ を実数列， $a$ を実数とする．このとき
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - a)^{n}$
の形の関数を $x = a$ 中心の整級数という．

整級数が収束する $x \in R$ の範囲を（その整級数の）収束域という．

以下では，簡単の為（ $X \overset{def}{=} x - a$ と置き換えることにより） $x = 0$ 中心の整級数を扱う：
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$

このとき，次が成り立つ．

$x = 0$ 中心の整級数に関し，次の３つの場合のみ起こる．
(R1) $x = 0$ のみで収束
(R2) $^{\forall} x \in R$ で収束
(R3) ある $r > 0$ が存在し「 $^{\forall} | x | < r$ で収束かつ $^{\forall} | x | > r$ で発散」

[注] (iii) の場合， $x = \pm r$ で収束するか発散するかは個々の整級数に依る．

収束半径

$x = 0$ 中心の整級数に関し，収束域を $A (\subset R)$ として，
$l \overset{def}{=} sup {| x | : x \in A} (\in [0, + \infty])$
を，収束半径という．

項別積分・項別微分

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} ：収束半径 l \neq 0 の整級数$

(項別積分) $^{\forall} | x | < l$ に対し
$\int_{0}^{x} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^{n} d t = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_{n} t^{n} d t (= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n + 1} x^{n + 1})$
しかも，最右辺の整級数の収束半径も $l$ となる．従って項別積分は何回でも行える．
(項別微分) $^{\forall} | x | < l$ に対し
$\frac{d}{d x} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d}{d x} a_{n} t^{n} (= \sum_{n = 0}^{\infty} n x^{n - 1})$
しかも，最右辺の整級数の収束半径も $l$ となる．従って項別微分は何回でも行える．

ある関数 $f (x)$ が， $x = 0$ 中心の（収束半径 $\neq 0$ の）整級数で表せるとき，それは Maclaurin 展開となっている．すなわちその表現は一意である．

$f (x)$ は各 $x (| x | < l)$ に関し何回でも項別微分可能であることを用いる．
$f^{(n)} (0) = n! a_{n} ∴ a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!} .$
これは Maclaurin 展開である．

積分法

Riemann 積分

$f (x)$ を有界閉区間 $[a, b]$ 上の実数値関数とする．このとき $[a, b]$ の分割 $Δ$
$Δ : a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{m} = l$
に対し，
$| Δ | \overset{def}{=} max_{1 \leq i \leq n} (x_{i} - x_{i - 1})$
とおく．

各小区間 $[x_{i - 1}, x_{i}] (i = 1, \dots, n)$ の中に，任意に一点 $ξ_{i} (ξ = (ξ_{i})_{i \in N_{+}})$ をとって，作った和
$S (f, Δ, ξ) \overset{def}{=} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$
を分割 $Δ$ ,代表点 $ξ$ に関する $f$ の Riemann 和という．

$[a, b]$ の分割 $Δ$ 及び代表点 $ξ = (ξ)_{i}$ のとり方に依らずに
$「 lim_{| Δ | \to 0} S (f, Δ, ξ) が一定の値を有する」$
とき
$\int_{a}^{b} f (x) d x \overset{def}{=} lim_{| Δ | \to 0} S (f, Δ, ξ)$
と定義し， $f$ は $[a, b]$ 上で Riemann 積分可能といい， $\int_{a}^{b} f (x) d x$ を $f$ の $[a, b]$ 上の Riemann 積分（定積分）という．

[注] $a = b$ の場合は
$\int_{a}^{b} f (x) d x = 0$
$a > b$ の場合は
$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$
とする．

$f$ が $[a, b]$ 上で Riemann 積分可能ならば $f$ は $[a, b]$ 上で有界関数である．

定積分の基本性質

関数 $f (x), g (x)$ が有界閉区間 $I$ で Riemann 積分可能かつ $a, b, c \in I$ ならば

I] $| f (x) |$ も， $I$ 上で Riemann 積分可能

II]

(1)
$\int_{a}^{b} {f (x) \pm g (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$

(2)
$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x (x \in R)$

(3)
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$

III]

$a \leq b$ かつ $g (x) \leq f (x)$ ならば
$\int_{a}^{b} g (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) d x .$
さらに， $f (x), g (x)$ 共に連続で $g (x) ≢ f (x) (a \leq x \leq b)$ ならば
$\int_{a}^{b} g (x) d x < \int_{a}^{b} f (x) d x .$
$a$ と $b$ の大小に依らず
$| \int_{a}^{b} f (x) d x | \leq | \int_{a}^{b} | f (x) | d x |$

(ここ上手く箇条書きにできませんでした…いい方法あったら教えて下さい…)

微分積分学の基本定理

関数 $f (x)$ が $[a, b]$ 上で連続ならば

$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x) (a \leq x \leq b) .$
（但し $x = a$ では右微分， $x = b$ では左微分）
$G^{'} (x) = f (x)$ となる関数 $G (x)$ を用いると
$\int_{a}^{b} f (x) d x = G (b) - G (a) .$

(1)
$F (x) \overset{def}{=} \int_{a}^{x} f (t) d t (a \leq x \leq b)$
とおく．

$^{\forall} x_{0} \in [a, b]$ をとる．以下，
$^{\exists} F^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$
となることを示す．

i) $a < x_{0} < b$ のとき， $^{\forall} ϵ > 0$ をとる．仮定から， $f (t)$ は $t = x_{0}$ で連続ゆえ，
$^{\exists} δ > 0 [t \in [x_{0} - δ, x_{0} + δ] (\subset [a, b]) ⟹ | f (t) - f (x_{0}) | < ϵ] .$

従って， $0 < | h | < δ$ のとき
$\begin{aligned} | \frac{F (x_{0} + h) - F (x_{0})}{h} - f (x_{0}) | & = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f (t) d t - \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f (x_{0}) d t | \\ = \frac{1}{| h |} | \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} {f (t) - f (x_{0})} d t | \\ \leq \frac{1}{| h |} | \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} | f (t) - f (x_{0}) | d t | \\ \leq \frac{1}{| h |} | \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} ϵ d t | \\ = ϵ . \end{aligned}$

これは
$lim_{h \to 0} \frac{F (x_{0} + h) - F (x_{0})}{h} = f (x_{0})$
を示している．つまり
$F^{'} (x_{0}) = f (x_{0}) .$

ii) $x_{0} = a, b$ のときも同様．

(2)

仮定から
$G^{'} (x) = f (x) (a \leq x \leq b) .$

また，(1)から，
$F^{'} (x) = f (x) (a \leq x \leq b) .$

両者を辺々引いて
$(F (x) - G (x))^{'} = 0 (a \leq x \leq b) .$

従って，微分法の平均値定理から，
$F (x) - G (x) = (定数) (a \leq x \leq b) .$

$x = a$ として，（ $F (a) = 0$ と合わせて）
$(定数) = - G (a) .$

故に
$\int_{a}^{x} f (t) d t = F (x) = G (x) - G (a) (a \leq x \leq b) .$

特に， $x = b$ とすれば，
$\int_{a}^{b} f (t) d t = G (b) - G (a)$

原始関数

与えられた関数 $f (x)$ に対し
$F^{'} (x) = f (x)$
となる関数 $F (x)$ を $f (x)$ の原始関数といい，
$\int f (x) d x$
なる記号で表す．

不連続点を含む関数の積分

関数 $f (x) (a \leq x \leq b)$ が有限個の点を除き連続かつ有界ならば $f (x)$ は $[a, b]$ 上で Riemann 積分可能．

関数 $f (x)$ が $[a, b]$ 上で，Riemann 積分可能ならば $^{\forall} c \in [a, b]$ に対し，
$F (x) \overset{def}{=} \int_{c}^{x} f (t) d t (a \leq x \leq b)$
は連続．

もっと詳しく，次が成り立つ：

ある定数 $M > 0$ が存在して
$| F (x_{1}) - F (x_{2}) | \leq M | x_{1} - x_{2} | (^{\forall} x_{1}, x_{2} \in [a, b]) .$

広義 Riemann 積分

$- \infty < a < c < b < + \infty$ とする．

(i) $f (x) (a < x \leq b) : {\begin{aligned} (イ) x = a の近傍で非有界 \\ (ロ) [a + ϵ, b] (^{\forall} ϵ > 0 : 十分小) では Riemann 積分可能 \end{aligned}$
$\int_{a}^{b} f (x) d x \overset{def}{=} lim_{ϵ \to + 0} \int_{a + ϵ}^{b} f (x) d x$

(ii) $f (x) (a < x < b) : {\begin{aligned} (イ) x = a, b の近傍で非有界 \\ (ロ) [a + ϵ_{1}, b - ϵ_{2}] (^{\forall} ϵ_{1}, ϵ_{2} > 0 : 十分小) では Riemann 積分可能 \end{aligned}$
$\int_{a}^{b} f (x) d x \overset{def}{=} lim_{ϵ_{1}, ϵ_{2} \to + 0} \int_{a + ϵ_{1}}^{b - ϵ_{2}} f (x) d x$

(iii) $f (x) (a < x < b) : {\begin{aligned} (イ) x = c の近傍で非有界 \\ (ロ) [a, c - ϵ_{1}] 及び [c + ϵ_{2}, b] (^{\forall} ϵ_{1}, ϵ_{2} > 0 : 十分小) では Riemann 積分可能 \end{aligned}$
$\int_{a}^{b} f (x) d x \overset{def}{=} \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$