びぶんせきぶん
微積の授業で習った定義や定理を復習がてらにメモっただけです．ほぼ自分用です．証明や具体例はほとんどすっとばしているクソ記事です．気が向いたら書きます．これから追記していきます．
実数の連続性
上界，下界，上限，下限，最大値，最小値
$(\boldsymbol R\supset)E\ne\emptyset$とする．
- $E$は上に有界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$${}^\exists M\in\boldsymbol R[x\in E\implies x\le M]$
- $E$は下に有界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$${}^\exists M\in\boldsymbol R[x\in E\implies x\ge M]$
- $A\in\boldsymbol R$が$E$の上界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$$A$が「$x\in E\implies x\le A$」を満たす
- $A\in\boldsymbol R$が$E$の下界$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$$A$が「$x\in E\implies x\ge A$」を満たす
- $E$が上に有界のとき，$E$の最小上界を$E$の上限といい，$\sup E$と書く．
- $E$が上に有界でないときは$E$の上限は$+\infty$と定める．
- $E$が下に有界のとき，$E$の最大下限を$E$の下限といい，$\inf E$と書く．
- $E$が下に有界でないときは$E$の下限は$-\infty$と定める．
実数の連続性
$\boldsymbol R$の空でない部分集合に関して，上に有界ならば上限が存在する．
数列の極限
$$ \lim_{n\to\infty}a_n=b \stackrel{\mathrm{def}}{\iff}{}^\forall\epsilon>0,{}^\exists n_0\in\boldsymbol N[n\ge n_0\implies|a_n-b|<\epsilon] $$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a,\lim_{n\to\infty}b_n=b$とする．
(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=a\pm b$
(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=ab$
(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac ab\quad(b\ne0)$
(4) $a_n\le b_n$ならば$a\le b$
$a_n\le c_n\le b_n$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=a$ならば$\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=a$．
関数の極限
$$ \lim_{x\to a}f(x)=b \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} {}^\forall\epsilon>0,{}^\exists\delta>0[0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-b|<\epsilon] $$
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l,\lim_{x\to a}g(x)=m$とする．
(1) $\displaystyle\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=l\pm m$
(2) $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)=lm$
(3) $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac lm\quad(m\ne0)$
(4) $f(x)\le g(x)$ならば$l\le m$
$f(x)\le h(x)\le g(x)$，$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=l$ならば$\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=l$．
逆関数
関数$f(x)$が区間$I$において，各$y_0\in\{f(x)|x\in I\}$に対して，$y_0=f(x_0)$を満たす$x_0\in I$がただ一つ存在するとき，このような$\{f(x)|x\in I\}$から$I$への対応を$f^{-1}$とすると，$f^{-1}$は関数となる．このような$f^{-1}$を$f$の逆関数という．
関数の連続性
関数$f(x)$が，$x=a$で連続$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$即ち${}^\forall\epsilon>0,{}^\exists\delta>0[0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-f(a)|<\epsilon]$
微分法
微分の定義
- $y=f(x)$が，$x=x_0$で微分可能$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$(*)$\displaystyle{}^\exists\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\quad(\in\boldsymbol R)$
- (1)のとき(*)を$f'(x_0)$と書き，「$f(x)$の$x=x_0$における微分係数」という．
$y=f(x)$が，$x=x_0$で微分可能$\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}$実数$\alpha\in\boldsymbol R$が存在して次式が存在する．
\begin{gather*}
f(x)=f(x_0)+\alpha(x-x_0)+\epsilon(x)\\
\left(\lim_{x\to x_0}\frac{\epsilon(x)}{x-x_0}=0\right)
\end{gather*}
そして，このとき$\alpha$を$f'(x_0)$と書き，$f(x)$の$x=x_0$における微分係数と呼ぶ．
\begin{align*} y=f^{-1}(x) \implies \frac{dy}{dx}&=\frac1{\frac{dx}{dy}}\quad\left(\text{$\frac{dx}{dy}\ne0$なる点で}\right)\\ &=\frac1{f'(y)}=\frac1{f'(f^{-1}(x))} \end{align*}
$$ \{f(x)g(x)\}^{(n)}=\sum_{r=0}^n{}_nC_rf^{(r)}(x)g^{(n-r)}(x) $$
関数$f(x)$が$[a,b]$で連続かつ$(a,b)$で微分可能ならば$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$を満たす$c\ (a< c< b)$が存在する．
$$ \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0\ (\text{or}\pm\infty). $$
$a$の除外近傍で，$g'(x)\ne0$で
$$ \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l\quad(\in[-\infty,\infty]). $$
(1), (2) が成立するとき
$$
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=l.
$$
$f(x)$が$x=0$の近傍で$n$回微分可能ならば
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+R_n
$$
但し
$$
R_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^n\quad(0\le c\le x).
$$
このとき$n\to\infty$で$R_n\to0$になるとき Maclaurin 展開になる．
$f(x)$が$x=a$の近傍で$n$回微分可能ならば
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n
$$
但し
$$
R_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n\quad(a\le c\le x).
$$
このとき$n\to\infty$で$R_n\to0$になるとき Taylor 展開になる．
整級数
$(a_n)_{n\in\boldsymbol N_0}$を実数列，$a$を実数とする．このとき
$$
\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n
$$
の形の関数を$x=a$中心の整級数という．
整級数が収束する$x\in\boldsymbol R$の範囲を（その整級数の）収束域という．
以下では，簡単の為（$X\stackrel{\mathrm{def}}=x-a$と置き換えることにより）$x=0$中心の整級数を扱う：
$$
\sum_{n=0}^\infty a_nx^n
$$
このとき，次が成り立つ．
$x=0$中心の整級数に関し，次の３つの場合のみ起こる．
(R1) $x=0$のみで収束
(R2) ${}^\forall x\in\boldsymbol R$で収束
(R3) ある$r>0$が存在し「${}^\forall|x|< r$で収束かつ${}^\forall|x|>r$で発散」
[注] (iii) の場合，$x=\pm r$で収束するか発散するかは個々の整級数に依る．
$x=0$中心の整級数に関し，収束域を$A(\subset\boldsymbol R)$として，
$$
l\stackrel{\mathrm{def}}=\sup\{|x|:x\in A\}(\in[0,+\infty])
$$
を，収束半径という．
$$ \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\text{：収束半径$l\ne0$の整級数} $$
- (項別積分) ${}^\forall|x|< l$に対し
$$ \int_0^x\sum_{n=0}^\infty a_nt^n\,dt=\sum_{n=0}^\infty\int_0^xa_nt^n\,dt\left(=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\right) $$
しかも，最右辺の整級数の収束半径も$l$となる．従って項別積分は何回でも行える． - (項別微分) ${}^\forall|x|< l$に対し
$$ \frac d{dx}\sum_{n=0}^\infty a_nt^n=\sum_{n=1}^\infty\frac d{dx}a_nt^n\left(=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}\right) $$
しかも，最右辺の整級数の収束半径も$l$となる．従って項別微分は何回でも行える．
ある関数$f(x)$が，$x=0$中心の（収束半径$\ne0$の）整級数で表せるとき，それは Maclaurin 展開となっている．すなわちその表現は一意である．
$f(x)$は各$x(|x|< l)$に関し何回でも項別微分可能であることを用いる．
$$
f^{(n)}(0)=n!a_n
\quad\therefore
a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.
$$
これは Maclaurin 展開である．
積分法
Riemann 積分
$f(x)$を有界閉区間$[a,b]$上の実数値関数とする．このとき$[a,b]$の分割$\Delta$
$$
\Delta:a=x_0< x_1<\cdots< x_m=l
$$
に対し，
$$
|\Delta|\stackrel{\mathrm{def}}=\max_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1})
$$
とおく．
各小区間$[x_{i-1},x_i]\ (i=1,\ldots,n)$の中に，任意に一点$\xi_i\ (\xi=(\xi_i)_{i\in\boldsymbol N_+})$をとって，作った和
$$
S(f,\Delta,\xi)\stackrel{\mathrm{def}}=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})
$$
を分割$\Delta$,代表点$\xi$に関する$f$の Riemann 和という．
$[a,b]$の分割$\Delta$及び代表点$\xi=(\xi)_i$のとり方に依らずに
$$
\text{「$\lim_{|\Delta|\to0}S(f,\Delta,\xi)$が一定の値を有する」}
$$
とき
$$
\int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\lim_{|\Delta|\to0}S(f,\Delta,\xi)
$$
と定義し，$f$は$[a,b]$上で Riemann 積分可能といい，$\int_a^bf(x)\,dx$を$f$の$[a,b]$上の Riemann 積分（定積分）という．
[注]$a=b$の場合は
$$
\int_a^bf(x)\,dx=0
$$
$a>b$の場合は
$$
\int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^af(x)\,dx
$$
とする．
$f$が$[a,b]$上で Riemann 積分可能ならば$f$は$[a,b]$上で有界関数である．
関数$f(x),g(x)$が有界閉区間$I$で Riemann 積分可能かつ$a,b,c\in I$ならば
I] $|f(x)|$も，$I$上で Riemann 積分可能
II]
(1)
$$
\int_a^b\{f(x)\pm g(x)\}\,dx=\int_a^bf(x)\,dx\pm\int_a^bg(x)\,dx
$$
(2)
$$
\int_a^bkf(x)\,dx=k\int_a^bf(x)\,dx\quad(x\in\boldsymbol R)
$$
(3)
$$
\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx
$$
III]
$a\le b$かつ$g(x)\le f(x)$ならば
$$ \int_a^bg(x)\,dx\le\int_a^bf(x)\,dx. $$
さらに，$f(x),g(x)$共に連続で$g(x)\not\equiv f(x)\ (a\le x\le b)$ならば
$$ \int_a^bg(x)\,dx<\int_a^bf(x)\,dx. $$$a$と$b$の大小に依らず
$$ \left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\le\left|\int_a^b|f(x)|\,dx\right| $$
(ここ上手く箇条書きにできませんでした…いい方法あったら教えて下さい…)
微分積分学の基本定理
関数$f(x)$が$[a,b]$上で連続ならば
- $$
\frac d{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)\quad(a\le x\le b).
$$
（但し$x=a$では右微分，$x=b$では左微分） - $G'(x)=f(x)$となる関数$G(x)$を用いると
$$ \int_a^bf(x)\,dx=G(b)-G(a). $$
(1)
$$
F(x)\stackrel{\mathrm{def}}=\int_a^xf(t)\,dt\quad(a\le x\le b)
$$
とおく．
${}^\forall x_0\in[a,b]$をとる．以下，
$$
{}^\exists F'(x_0)=f(x_0)
$$
となることを示す．
i) $a< x_0< b$のとき，${}^\forall\epsilon>0$をとる．仮定から，$f(t)$は$t=x_0$で連続ゆえ，
$$
{}^\exists\delta>0\bigl[t\in[x_0-\delta,x_0+\delta]\ (\subset[a,b])\implies|f(t)-f(x_0)|<\epsilon\bigr].
$$
従って，$0<|h|<\delta$のとき
\begin{align*}
\left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h-f(x_0)\right|
&=\left|\frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,dt-\frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)\,dt\right|\\
&=\frac1{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\{f(t)-f(x_0)\}\,dt\right|\\
&\le\frac1{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}|f(t)-f(x_0)|\,dt\right|\\
&\le\frac1{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\epsilon\,dt\right|\\
&=\epsilon.
\end{align*}
これは
$$
\lim_{h\to0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h=f(x_0)
$$
を示している．つまり
$$
F'(x_0)=f(x_0).
$$
ii) $x_0=a,b$のときも同様．
(2)
仮定から
$$
G'(x)=f(x)\quad(a\le x\le b).
$$
また，(1)から，
$$
F'(x)=f(x)\quad(a\le x\le b).
$$
両者を辺々引いて
$$
(F(x)-G(x))'=0\quad(a\le x\le b).
$$
従って，微分法の平均値定理から，
$$
F(x)-G(x)=(\text{定数})\quad(a\le x\le b).
$$
$x=a$として，（$F(a)=0$と合わせて）
$$
(\text{定数})=-G(a).
$$
故に
$$
\int_a^xf(t)\,dt=F(x)=G(x)-G(a)\quad(a\le x\le b).
$$
特に，$x=b$とすれば，
$$
\int_a^bf(t)\,dt=G(b)-G(a)
$$
与えられた関数$f(x)$に対し
$$
F'(x)=f(x)
$$
となる関数$F(x)$を$f(x)$の原始関数といい，
$$
\int f(x)\,dx
$$
なる記号で表す．
不連続点を含む関数の積分
関数$f(x)\ (a\le x\le b)$が有限個の点を除き連続かつ有界ならば$f(x)$は$[a,b]$上で Riemann 積分可能．
関数$f(x)$が$[a,b]$上で，Riemann 積分可能ならば${}^\forall c\in[a,b]$に対し，
$$
F(x)\stackrel{\mathrm{def}}=\int_c^xf(t)\,dt\quad(a\le x\le b)
$$
は連続．
もっと詳しく，次が成り立つ：
ある定数$M>0$が存在して
$$
|F(x_1)-F(x_2)|\le M|x_1-x_2|\quad({}^\forall x_1,x_2\in[a,b]).
$$
広義 Riemann 積分
$-\infty< a< c< b<+\infty$とする．
(i) $$
f(x)\ (a< x\le b):
\left\{
\begin{aligned}
&\text{(イ)$x=a$の近傍で非有界}\\
&\text{(ロ)$[a+\epsilon,b]\ ({}^\forall\epsilon>0:\text{十分小})$では Riemann 積分可能}
\end{aligned}
\right.
$$
$$
\int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\lim_{\epsilon\to+0}\int_{a+\epsilon}^bf(x)\,dx
$$
(ii) $$
f(x)\ (a< x< b):
\left\{
\begin{aligned}
&\text{(イ)$x=a,b$の近傍で非有界}\\
&\text{(ロ)$[a+\epsilon_1,b-\epsilon_2]\ ({}^\forall\epsilon_1,\epsilon_2>0:\text{十分小})$では Riemann 積分可能}
\end{aligned}
\right.
$$
$$
\int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\lim_{\epsilon_1,\epsilon_2\to+0}\int_{a+\epsilon_1}^{b-\epsilon_2}f(x)\,dx
$$
(iii) $$
f(x)\ (a< x< b):
\left\{
\begin{aligned}
&\text{(イ)$x=c$の近傍で非有界}\\
&\text{(ロ)$[a,c-\epsilon_1]\text{及び}[c+\epsilon_2,b]\ ({}^\forall\epsilon_1,\epsilon_2>0:\text{十分小})$では Riemann 積分可能}
\end{aligned}
\right.
$$
$$
\int_a^bf(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx
$$
