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過去ツイの証明

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このツイートの式を証明してみます。
https://twitter.com/tria_math/status/1276907009095241733?s=19

$\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cosh zx}{(x^2+1)\cosh\frac{\pi x }{2}}dx=z\sin z+\cos z\log(2\cos z)$
(証明)
まず、この左辺を$f(z)$とおきます。
$\displaystyle f''(z)=\int_0^\infty\frac{\partial^2}{\partial z^2}\frac{\cosh zx}{(x^2+1)\cosh \frac{\pi x}{2}}dx \\=\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^2\cosh zx}{(x^2+1)\cosh\frac{\pi x}{2}}dx$
いつものやつを使います。
https://twitter.com/tria_math/status/1268491322802835456?s=19
すると、
$\displaystyle f''(z)+f(z)=\int_0^\infty\frac{\cosh zx}{\cosh\frac{\pi x}{2}}dx=\sec z$
となります。
この微分方程式を解きます。
すると、
$f(z)=z\sin z+\cos z\log\cos z+C_1\cos z+C_2\sin z$
具体値を代入して定数$C_1,C_2$の値を求めます。
$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\int_0^\infty\frac{1}{x^2+1}=\frac{\pi}{2}$
となるので、$C_2=0$です。
次に、$f(0)$を求めます。
$\displaystyle f(0)=\int_0^\infty\frac{1}{(x^2+1)\cosh\frac{\pi x}{2}}dx \\=\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{\cosh\frac{\pi x}{2}}\int_0^\infty e^{-t}\cos xtdtdx \\=\displaystyle\int_0^\infty e^{-t}\int_0^\infty\frac{\cos xt}{\cosh\frac{\pi x}{2}}dxdt \\=\displaystyle\int_0^\infty\frac{e^{-t}}{\cosh t}dt \\=\displaystyle\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}dx=\log2$
従って、$C_1=\log2$であり、
$f(z)=z\sin z+\cos z\log(2\cos z)$
となることがわかりました。
投稿日:2021313

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tria_math
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