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大学数学基礎解説

過去ツイの証明

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このツイートの式を証明してみます。
https://twitter.com/tria_math/status/1276907009095241733?s=19

\int_{0}^{\infty} \frac{\cosh z x}{(x^{2} + 1) \cosh \frac{π x}{2}} d x = z \sin z + \cos z \log (2 \cos z)

(証明)
まず、この左辺を

f (z)

とおきます。

f^{″} (z) = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \frac{\cosh z x}{(x^{2} + 1) \cosh \frac{π x}{2}} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2} \cosh z x}{(x^{2} + 1) \cosh \frac{π x}{2}} d x

いつものやつを使います。
https://twitter.com/tria_math/status/1268491322802835456?s=19
すると、

f^{″} (z) + f (z) = \int_{0}^{\infty} \frac{\cosh z x}{\cosh \frac{π x}{2}} d x = \sec z

となります。
この微分方程式を解きます。
すると、

f (z) = z \sin z + \cos z \log \cos z + C_{1} \cos z + C_{2} \sin z

具体値を代入して定数

C_{1}, C_{2}

の値を求めます。

f (\frac{π}{2}) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{π}{2}

となるので、

C_{2} = 0

です。
次に、

f (0)

を求めます。

f (0) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{2} + 1) \cosh \frac{π x}{2}} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\cosh \frac{π x}{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- t} \cos x t d t d x = \int_{0}^{\infty} e^{- t} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x t}{\cosh \frac{π x}{2}} d x d t = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- t}}{\cosh t} d t = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x = \log 2

従って、

C_{1} = \log 2

であり、

f (z) = z \sin z + \cos z \log (2 \cos z)

となることがわかりました。

投稿日：2021年3月13日

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