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過去ツイの証明

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このツイートの式を証明してみます。
https://twitter.com/tria_math/status/1276907009095241733?s=19

0coshzx(x2+1)coshπx2dx=zsinz+coszlog(2cosz)
(証明)
まず、この左辺をf(z)とおきます。
f(z)=02z2coshzx(x2+1)coshπx2dx=0x2coshzx(x2+1)coshπx2dx
いつものやつを使います。
https://twitter.com/tria_math/status/1268491322802835456?s=19
すると、
f(z)+f(z)=0coshzxcoshπx2dx=secz
となります。
この微分方程式を解きます。
すると、
f(z)=zsinz+coszlogcosz+C1cosz+C2sinz
具体値を代入して定数C1,C2の値を求めます。
f(π2)=01x2+1=π2
となるので、C2=0です。
次に、f(0)を求めます。
f(0)=01(x2+1)coshπx2dx=01coshπx20etcosxtdtdx=0et0cosxtcoshπx2dxdt=0etcoshtdt=012x1+x2dx=log2
従って、C1=log2であり、
f(z)=zsinz+coszlog(2cosz)
となることがわかりました。
投稿日:2021313
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tria_math
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