積分botさんの積分解説2 ∫[0,∞]xsin^2x/(cosx+coshx)dx
${}$
この記事では, 積分botさんのツイートされていた, 以下の積分 の証明を書こうと思います.
${}$
これ, 分母が$x\to ix$で不変なので, 留数定理てきにやるのかなあと思ったのですが, 普通に級数展開でいけました. 答えが綺麗で面白いです.
${}$
(証明)
$$\beq
\cos x+\cosh x&=&\cosh x+\cosh ix\\[5pt]
&=&2\cosh\frac{1+i}2x\cosh\frac{1-i}2x\\[5pt]
&=&2\cdot\frac{1+e^{-(1+i)x}}{2e^{-\frac{1+i}2x}}\cdot\frac{1+e^{-(1-i)x}}{2e^{-\frac{1-i}2x}}\\[5pt]
&=&\frac{(1+e^{-(1+i)x})(1+e^{-(1-i)x})}{2e^{-x}}
\eeq$$
より, 部分分数分解をして,
$$\beq &&\int_0^\infty\frac{x\sin^2x}{\cos x+\cosh x}\,dx\\[5pt] &=&\int_0^\infty\frac{2e^{-x}\sin^2x}{(1+e^{-(1+i)x})(1+e^{-(1-i)x})}\,x\,dx\\[5pt] &=&\int_0^\infty\frac{2e^{-x}\sin^2x}{e^{-x}(e^{-ix}-e^{ix})}\left(\frac{e^{-(1+i)x}}{1+e^{-(1+i)x}}-\frac{e^{-(1-i)x}}{1+e^{-(1-i)x}}\right)\,x\,dx\\[5pt] &=&\frac12\sumn{1}(-1)^{n-1}\int_0^\infty(e^{ix}-e^{-ix})\left(e^{-(1+i)nx}-e^{-(1-i)nx}\right)\,x\,dx \eeq$$
ここでMellin変換$\ds\int_0^\infty e^{-\a x}x^{s-1}\,dx=\frac{\G{s}}{\a^s}$ を思い出して,
$$\beq &=&\frac12\sumn{1}(-1)^{n-1}\left(\frac1{(n+(n-1)i)^2}+\frac1{(n-(n-1)i)^2}-\frac1{(n+(n+1)i)^2}-\frac1{(n-(n+1)i)^2}\right)\\[5pt] &=&\sumn{1}(-1)^{n-1}\,\Re\left(\frac1{1+2n(n-1)i}+\frac1{1+2n(n+1)i}\right) \eeq$$
これは望遠鏡和になっているので, $n=1$での第1項だけ効いてきて, 積分値は$1$となります.
これ今思ったのですが, やっぱり想定解は留数定理かもしれませんね...
読んで下さった方, ありがとうございました.
${}$