積分botさんの積分解説2 ∫[0,∞]xsin^2x/(cosx+coshx)dx

この記事では, 積分botさんのツイートされていた, 以下の積分 の証明を書こうと思います.

これ, 分母が$x\to ix$で不変なので, 留数定理てきにやるのかなあと思ったのですが, 普通に級数展開でいけました. 答えが綺麗で面白いです.

(証明)

$$\begin{array}{rcl}\cos x+\cosh x& =& \cosh x+\cosh ix\\ & =& 2\cosh \frac{1+i}{2}x\cosh \frac{1-i}{2}x\\ & =& 2\cdot \frac{1+e^{-(1+i)x}}{2e^{-\frac{1+i}{2}x}}\cdot \frac{1+e^{-(1-i)x}}{2e^{-\frac{1-i}{2}x}}\\ & =& \frac{(1+e^{-(1+i)x})(1+e^{-(1-i)x})}{2e^{-x}}\end{array}$$
より, 部分分数分解をして,

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x{\sin }^{2}x}{\cos x+\cosh x}dx\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2e^{-x}{\sin }^{2}x}{(1+e^{-(1+i)x})(1+e^{-(1-i)x})}xdx\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2e^{-x}{\sin }^{2}x}{e^{-x}(e^{-ix}-e^{ix})}(\frac{e^{-(1+i)x}}{1+e^{-(1+i)x}}-\frac{e^{-(1-i)x}}{1+e^{-(1-i)x}})xdx\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{ix}-e^{-ix})(e^{-(1+i)nx}-e^{-(1-i)nx})xdx\end{array}$$

ここでMellin変換${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x}{x}^{s-1}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(s)}{{\alpha }^s}}$ を思い出して,

$$\begin{array}{rcl}& =& \frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}(\frac{1}{(n+(n-1)i{)}^2}+\frac{1}{(n-(n-1)i{)}^2}-\frac{1}{(n+(n+1)i{)}^2}-\frac{1}{(n-(n+1)i{)}^2})\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\mathrm{Re}(\frac{1}{1+2n(n-1)i}+\frac{1}{1+2n(n+1)i})\end{array}$$

これは望遠鏡和になっているので, $n=1$での第1項だけ効いてきて, 積分値は$1$となります.

これ今思ったのですが, やっぱり想定解は留数定理かもしれませんね...

読んで下さった方, ありがとうございました.