平均不等式 技術

序文

構成

本記事群は以下のような構成になっている.

• 導入
• 理論
• 技術（本記事）
• 応用

目的

平均不等式を実用するときの基本パターンを抑える.

意識すべき点

AM-GM を使うにあって意識すべき点は3つある.

• 対象が非負数
• 等号成立条件
• 不等号の向き
  • AM-GM の向き
  • 符号
  • 逆数

正文

基本

解答

\begin{alignat}{2} x+\frac{1}{x} &\geq 2\sqrt{x\times \frac{1}{x}}&& \left(e.h.c.:x=\frac{1}{x}\land0< x \Leftrightarrow x=1\right)\\ &=2&& \end{alignat}

次数下げ

解答

\begin{alignat}{2} \frac{2x^2+3}{x} &=2x+\frac{3}{x}\\ &\geq 2\sqrt{2x\times \frac{3}{x}}&& \left(e.h.c.:2x=\frac{3}{x}\land0< x \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\\ &=2\sqrt{6} \end{alignat}

逆数

解答

1. $x=0$の時,
   $\dfrac{x^2}{x^4+1}=0$

2. $x\neq0$の時,
   \begin{alignat}{2} \dfrac{x^2}{x^4+1}&=\dfrac{1}{\dfrac{x^4+1}{x^2}}&& \left(\because x\neq0\Rightarrow0< x^2\right)\\ &=\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}\\ &\le\dfrac{1}{2\sqrt{x^2\cdot\dfrac{1}{x^2}}}&& \left(e.h.c.:x^2=\frac{1}{x^2}\land0< x^2 \Leftrightarrow x=\pm1\right)\\ &=\dfrac{1}{2} \end{alignat}

定数違い

解答

\begin{alignat}{2} x+\frac{2}{x+1} &=(x+1)+\frac{2}{x+1}-1\\ &\geq 2\sqrt{(x+1)\times \frac{2}{x+1}}-1&& \left(e.h.c.:(x+1)=\frac{2}{x+1}\land0< x \Leftrightarrow x=\sqrt{2}-1\right)\\ &=2\sqrt{2}-1 \end{alignat}

次数違い

解答

\begin{alignat}{2} x^2+\frac{2}{x}&=x^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\\ &\geq3\sqrt[3]{x^2\times\frac{1}{x}\times\frac{1}{x}}&& \left(e.h.c.:x^2=x=x\land0< x \Leftrightarrow x=1\right)\\ &=3 \end{alignat}

積和

解答

\begin{alignat}{2} x^2(1-2x)&=x\times x\times(1-2x)\\ &\leq\{\dfrac{x+x+(1-2x)}{3}\}^3&&\left(e.h.c.:x=x=1-2x\land0< x\land0<1-2x \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\right)\\ &=\dfrac{1}{27} \end{alignat}

多項

解答

\begin{alignat}{2} x+x^2+\frac{1}{x^3} &\leq3\sqrt[3]{x\times x^2\times\frac{1}{x^3}} &&\left(e.h.c.:x=x^2=\frac{1}{x^3}\land0< x \Leftrightarrow x=1\right)\\ &=3 \end{alignat}

跋文

本記事では平均不等式の基本パターンを解説した. しかし, これは基本に過ぎないため, 演習を怠らず諸君の武器の一つにしてほしい. それらが諸君の役に立つことを切に願う.