平均不等式 技術

序文

構成

本記事群は以下のような構成になっている.

• 導入
• 理論
• 技術（本記事）
• 応用

目的

平均不等式を実用するときの基本パターンを抑える.

意識すべき点

AM-GM を使うにあって意識すべき点は3つある.

• 対象が非負数
• 等号成立条件
• 不等号の向き
  • AM-GM の向き
  • 符号
  • 逆数

正文

基本

解答

$$\begin{array}{rlrl}x+\frac{1}{x}& \ge 2\sqrt{x\times \frac{1}{x}}& & (e.h.c.:x=\frac{1}{x}\wedge 0<x\iff x=1)\\ & =2& & \end{array}$$

次数下げ

解答

$$\begin{array}{rl}\frac{2x^2+3}{x}& =2x+\frac{3}{x}\\ & \ge 2\sqrt{2x\times \frac{3}{x}}& & (e.h.c.:2x=\frac{3}{x}\wedge 0<x\iff x=\frac{\sqrt{6}}{2})\\ & =2\sqrt{6}\end{array}$$

逆数

解答

1. $x=0$の時,
   ${\displaystyle \frac{x^2}{x^4+1}}=0$

2. $x\ne 0$の時,
   $$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle \frac{x^2}{x^4+1}}& ={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x^4+1}{x^2}}}}& & (\because x\ne 0\Rightarrow 0<x^2)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}\\ & \le {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}}& & (e.h.c.:x^2=\frac{1}{x^2}\wedge 0<x^2\iff x=\pm 1)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

定数違い

解答

$$\begin{array}{rl}x+\frac{2}{x+1}& =(x+1)+\frac{2}{x+1}-1\\ & \ge 2\sqrt{(x+1)\times \frac{2}{x+1}}-1& & (e.h.c.:(x+1)=\frac{2}{x+1}\wedge 0<x\iff x=\sqrt{2}-1)\\ & =2\sqrt{2}-1\end{array}$$

次数違い

解答

$$\begin{array}{rl}{x}^2+\frac{2}{x}& =x^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\\ & \ge 3\sqrt[3]{x^2\times \frac{1}{x}\times \frac{1}{x}}& & (e.h.c.:x^2=x=x\wedge 0<x\iff x=1)\\ & =3\end{array}$$

積和

解答

$$\begin{array}{rl}{x}^2(1-2x)& =x\times x\times (1-2x)\\ & \le \{{\displaystyle \frac{x+x+(1-2x)}{3}}{\}}^3& & (e.h.c.:x=x=1-2x\wedge 0<x\wedge 0<1-2x\iff x=\frac{1}{3})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{27}}\end{array}$$

多項

解答

$$\begin{array}{rlrl}x+x^2+\frac{1}{x^3}& \le 3\sqrt[3]{x\times x^2\times \frac{1}{x^3}}& & (e.h.c.:x=x^2=\frac{1}{x^3}\wedge 0<x\iff x=1)\\ & =3\end{array}$$

跋文

本記事では平均不等式の基本パターンを解説した. しかし, これは基本に過ぎないため, 演習を怠らず諸君の武器の一つにしてほしい. それらが諸君の役に立つことを切に願う.