積分botさんの積分解説3 ∫[0,∞]log(1+cosha/coshx)dx

この記事では, 積分botさんのツイートされていた, 以下の積分 の証明をしようと思います.

これは個人的に面白いと思いました.

(証明)

まず$a$で偏微分した ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sinh a}{\cosh x+\cosh a}dx}$ を求めます.

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\cosh x+\alpha }dx& =& \frac{1}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\cosh x+\alpha }dx\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{2e^x}{e^{2x}+2\alpha e^x+1}dx\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+2\alpha x+1}dx\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(x+\alpha {)}^2-({\alpha }^2-1)}dx\\ & =& \frac{1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}{[-{\coth }^{-1}\frac{x+\alpha }{\sqrt{{\alpha }^2-1}}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}{\coth }^{-1}\frac{\alpha }{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\end{array}$$
ただし${\displaystyle {\coth }^{-1}z=\frac{1}{2}\ln \frac{z+1}{z-1}}$

ですので, $\alpha =\cosh a$として, とても綺麗に

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sinh a}{\cosh x+\cosh a}dx={\coth }^{-1}(\coth a)=a$$

となります. ただしこの2つめの等号は$|\mathrm{Im}a|<\pi$でしか成り立ちませんね.
$$

両辺を積分して

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\ln (1+\frac{\cosh a}{\cosh x})dx=\frac{a^2}{2}+C$$

なる定数$C$がありますが, これは$a={\displaystyle \frac{i\pi }{2}}$とすると$\cosh a=0$となり積分が$0$になることから, $C={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}}$ と分かります.
$$

読んで下さった方, ありがとうございました.