積分botさんの積分解説3 ∫[0,∞]log(1+cosha/coshx)dx
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この記事では, 積分botさんのツイートされていた, 以下の積分 の証明をしようと思います.
これは個人的に面白いと思いました.
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(証明)
まず$a$で偏微分した $\ds\int_0^\infty\frac{\sinh a}{\cosh x+\cosh a}\,dx$ を求めます.
$$\beq
\int_0^\infty\frac1{\cosh x+\a}\,dx&=&\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac1{\cosh x+\a}\,dx\\[5pt]
&=&\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{2e^x}{e^{2x}+2\a e^x+1}\,dx\\[5pt]
&=&\int_0^\infty\frac1{x^2+2\a x+1}\,dx\\[5pt]
&=&\int_0^\infty\frac1{(x+\a)^2-(\a^2-1)}\,dx\\[5pt]
&=&\frac1{\sqrt{\a^2-1}}\left[-\coth^{-1}\frac{x+\a}{\sqrt{\a^2-1}}\right]_0^\infty\\[5pt]
&=&\frac1{\sqrt{\a^2-1}}\coth^{-1}\frac{\a}{\sqrt{\a^2-1}}
\eeq$$
ただし$\ds\coth^{-1}z=\frac12\ln\frac{z+1}{z-1}$
ですので, $\a=\cosh a$として, とても綺麗に
$$\int_0^\infty\frac{\sinh a}{\cosh x+\cosh a}\,dx=\coth^{-1}(\coth a)=a$$
となります. ただしこの2つめの等号は$|\Im a|<\pi$でしか成り立ちませんね.
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両辺を積分して
$$\int_0^\infty\ln\left(1+\frac{\cosh a}{\cosh x}\right)\,dx=\frac{a^2}2+C$$
なる定数$C$がありますが, これは$a=\dfrac{i\pi}{2}$とすると$\cosh a=0$となり積分が$0$になることから, $C=\dfrac{\pi^2}8$ と分かります.
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読んで下さった方, ありがとうございました.
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