XY-YX=E となる正方行列 X,Y は存在するか．

$XY-YX=E$ となる正方行列 $X,Y$ は存在するか．
ただし $E$ は単位行列とする．

存在しない．
$\mathop{\mathrm{Tr}}(XY-YX)=\mathop{\mathrm{Tr}}(XY)-\mathop{\mathrm{Tr}}(YX)=0 \neq \mathop{\mathrm{Tr}}(E)$ により分かる．

なるほど．