積分botさんの積分解説4 ∫[0,∞]((1/(1+α^2x^2)-cosβx)/x)dx

この記事では, 積分botさんがツイートされていた, 以下の積分 の証明をしようと思います.
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形が綺麗ですね. 最近Mellin変換の強さ少しを知ったので, お気に入りになってしまいました.

(証明)

Mellin変換します.

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{s-1}}{1+{\alpha }^2{x}^2}dx& =& {\alpha }^{-s}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{s-1}}{1+x^2}dx\\ & =& {\alpha }^{-s}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\tan }^{s-1}xdx\\ & =& \frac{{\alpha }^{-s}}{2}B(\frac{s}{2},1-\frac{s}{2})\\ & =& \frac{{\alpha }^{-s}\pi }{2\sin \frac{\pi s}{2}}\\ {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}\cos \beta xdx& =& \mathrm{Re}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}{e}^{i\beta x}dx\\ & =& {\beta }^{-s}\mathrm{Re}{\int }_0^{-i\mathrm{\infty }}(ix{)}^{s-1}{e}^{-x}idx\\ & =& {\beta }^{-s}\mathrm{Re}(i^s){\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}{e}^{-x}dx\\ & =& {\beta }^{-s}\cos \frac{\pi s}{2}\mathrm{\Gamma }(s)\end{array}$$

最後に$s\to 0$とします. Laurent展開して

$$\begin{array}{rcl}& & \frac{{\alpha }^{-s}\pi }{2\sin \frac{\pi s}{2}}-{\beta }^{-s}\cos \frac{\pi s}{2}\mathrm{\Gamma }(s)\\ & =& (1-s\ln \alpha +O(s^2))(\frac{1}{s}+O(s))\\ & & -(1-s\ln \beta +O(s^2))(1+O(s^2))(\frac{1}{s}-\gamma +O(s))\\ & =& -\ln \alpha +\ln \beta +\gamma +O(s)\end{array}$$

示すことができました.
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読んで下さった方, ありがとうございました.
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