積分botさんの積分解説4 ∫[0,∞]((1/(1+α^2x^2)-cosβx)/x)dx

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この記事では, 積分botさんがツイートされていた, 以下の積分 の証明をしようと思います.
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形が綺麗ですね. 最近Mellin変換の強さ少しを知ったので, お気に入りになってしまいました.

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(証明)

Mellin変換します.

$$\beq \int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{1+\a^2x^2}\,dx&=&\a^{-s}\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{1+x^2}\,dx\\[5pt] &=&\a^{-s}\int_0^{\fracπ2}\tan^{s-1}x\,dx\\[5pt] &=&\frac{\a^{-s}}2\,B\left(\frac s2,1-\frac s2\right)\\[5pt] &=&\frac{\a^{-s}\pi}{2\sin\frac{\pi s}2}\\[10pt] \int_0^\infty x^{s-1}\cos\b x\,dx&=&\Re\int_0^\infty x^{s-1}e^{i\b x}\,dx\\[5pt] &=&\b^{-s}\Re\int_0^{-i\infty}(ix)^{s-1}e^{-x}\,i\,dx\\[5pt] &=&\b^{-s}\Re(i^s)\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx\\[5pt] &=&\b^{-s}\cos\frac{\pi s}2\G{s} \eeq$$

最後に$s\to0$とします. Laurent展開して

$$\beq &&\frac{\a^{-s}\pi}{2\sin\frac{\pi s}2}-\b^{-s}\cos\frac{\pi s}2\G{s}\\[5pt] &=&\big(1-s\ln\a+O(s^2)\big)\Big(\frac1s+O(s)\Big)\\[5pt] &&\hspace{20pt}-\big(1-s\ln\b+O(s^2)\big)\big(1+O(s^2)\big)\Big(\frac1s-\g+O(s)\Big)\\[5pt] &=&-\ln\a+\ln\b+\g+O(s)\\[5pt] \eeq$$

示すことができました.
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読んで下さった方, ありがとうございました.
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