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みゆ🌹式分数分解でマチンの公式を作ろう♪

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みゆ🌹式分数分解でマチンの公式を作ろう♪

マチンの公式

ご存知の方がほとんどかと思われますが、マチンの公式っていうのは

π4=4arctan15arctan1239

こーゆーのです。これの右辺をグレゴリー級数とかいう次の式

arctanx=n=0(1)n2n+1x2n+1=x13x3+15x517x7+(|x|<1)

で計算してあげると、なんかめっちゃ速く収束してくれるらしく、円周率を求めるのに適しているんだとか。

このマチンの公式に類似した式はいろいろ発見されていて、いずれも π4=k=1nakarctan1bk という形をしているのが特徴です。引数の分子が1なのは恐らくグレゴリー級数にしたとき少しでも計算をラクにするためかと思われます。

ところで先日、円周率の日にarctan牛タンを食べに行ったんですよ(唐突)。で、タンだけにtantan と食べてtanですけど(←)、そのときふと

π2=5arctan13arctan126+arctan12057

って式を思いついちゃいました。正確にはマチン系の公式にて全ての引数の分子を 1 にする「逆正接関数の分解定理」とゆーアイデアを思いついてそれを適用してみたわけなんですが、なかなか面白かったので紹介してみたいと思います。(∩´∀`)∩

作り方

まずは、ベースとなるイメージから(*´∀`*)b
イメージ図 イメージ図

Arg Zθ=ArgZNArgZN+ArgZθZθ=ZN×ZθZN(Re Zθ+i Im Zθ)=(Re Z+i Im Z)N×Re Zθ+i Im ZθRe ZN+i Im ZN=(Re Z+i Im Z)N×Re ZNi Im ZNRe ZNi Im ZNRe Zθ+i Im ZθRe ZN+i Im ZN=(Re Z+i Im Z)N×[(Re ZN)(Re Zθ)+(Im ZN)(Im Zθ)]+i[(Re ZN)(Im Zθ)(Im ZN)(Re Zθ)](Re ZN)2+(Im ZN)2arctanIm ZθRe Zθ=NarctanIm ZRe Z+arctan(Re ZN)(Im Zθ)(Im ZN)(Re Zθ)(Re ZN)(Re Zθ)+(Im ZN)(Im Zθ)θ=NarctanIm ZRe Z+arctanRe ZNsinθIm ZNcosθRe ZNcosθ+Im ZNsinθ

ここで、第一項目の分子を 1 にしたいので、Im Z=1 とすれば

{π4=Narctan1Re Z+arctanRe ZNIm ZNRe ZN+Im ZNπ2=Narctan1Re Z+arctanRe ZNIm ZNπ=Narctan1Re ZarctanIm ZNRe ZN

となります。Im ZN(Im Z)N=1 ってことに注意してね。

もちろん、この時点では二項目の分子が 1 になってくれる保証はありません。
そこで登場するのが逆正接関数の分解定理を用いた「みゆ式分数分解(牛tan分解)」です!!





逆正接関数の分解定理 by みゆ🌹ฅ^•ω•^ฅ
逆正接関数(arctan)の引数が有理数のとき、その関数の値は
分子を1とする有理分数を引数に持つ逆正接関数の和で表せる。

arctanqpq±r=arctan1parctanr(pq±r)p+q
arctan1p=arctanqpq±r±arctanr(pq±r)p+q

(※複号同順)

証明については (p+i)(pi)(pq±r+qi)=(p+i)[(pq±r)p+qri] と瞬殺させていただくとして、ここで注目すべきは分母±r(mod分子) を得るところ。

つまり、q>r となるような r をとることは確実に可能ですから、同じ操作を再帰的に繰り返すことでいずれは全ての引数の分子を 1 にできるってわけです。さながら エジプト式分数 みたいな分解方法ですが、みゆ式分数分解ではこれを逆正接関数arctanの引数でやってしまいます(*´艸`*)

これを使えば、いくらでもマチン系の公式を量産できそうですね。例えば初項を 5arctan16 としてみましょうか。(6+i)5=5646+6121i ですから 5arctan16=arctan61215646、分子が分母よりやや大きいことから 45 すなわち π4 rad よりやや大きいことが分かります。その差がどのくらいかというと

(5646+6121i)×(1i)Arg(1i)=π4=11767+475iarctan61215646arctan11π4=arctan47511767

それさえ分かれば、あとはひたすら分解していくだけ!

π4=5arctan16arctan47511767=5arctan16arctan125arctan54147325=5arctan16arctan125arctan12728+arctan13401902654=5arctan16arctan125arctan12728+arctan130915588arctan22485011373434113=5arctan16arctan125arctan12728+arctan130915588arctan11242505686717056+arctan13087640763048447064255689331330
Wolfram Alpha 先生による答え合わせ Wolfram Alpha 先生による答え合わせ

なんともアメージングですね(汗 計算結果はあってるんですが、項の数も桁の数も尋常じゃない((((;゚Д゚))))

これをもう少しコンパクトにする方法についても一応アイデアはあるのですが、現状ではまだ有用性に乏しいためちゃんと紹介できそうな方法が見つかりましたら続編を書きたいと思います(。>﹏<。)ノシ

謝辞

内容について検証くださった nayuta_ito 先生、 博士(笑)のわた 先生、 YouTakaoka 先生 に感謝感謝です♡

投稿日:2021316
更新日:2024829
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投稿者

https://mathlog.info/articles/323         数学を愛する会 副会長 CCO / ガラパゴ数学 開拓者 / 猫舌・甘党・薄味派

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