ご存知の方がほとんどかと思われますが、マチンの公式っていうのは
こーゆーのです。これの右辺をグレゴリー級数とかいう次の式
で計算してあげると、なんかめっちゃ速く収束してくれるらしく、円周率を求めるのに適しているんだとか。
このマチンの公式に類似した式はいろいろ発見されていて、いずれも
ところで先日、円周率の日に
って式を思いついちゃいました。正確にはマチン系の公式にて全ての引数の分子を
まずは、ベースとなるイメージから(*´∀`*)b
イメージ図
ここで、第一項目の分子を
となります。
もちろん、この時点では二項目の分子が
そこで登場するのが逆正接関数の分解定理を用いた「みゆ式分数分解(牛tan分解)」です!!
逆正接関数の分解定理 by みゆ🌹ฅ^•ω•^ฅ |
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逆正接関数( 分子を1とする有理分数を引数に持つ逆正接関数の和で表せる。 (※複号同順) |
証明については
つまり、
これを使えば、いくらでもマチン系の公式を量産できそうですね。例えば初項を
それさえ分かれば、あとはひたすら分解していくだけ!
Wolfram Alpha 先生による答え合わせ
なんともアメージングですね(汗 計算結果はあってるんですが、項の数も桁の数も尋常じゃない((((;゚Д゚))))
これをもう少しコンパクトにする方法についても一応アイデアはあるのですが、現状ではまだ有用性に乏しいためちゃんと紹介できそうな方法が見つかりましたら続編を書きたいと思います(。>﹏<。)ノシ
内容について検証くださった nayuta_ito 先生、 博士(笑)のわた 先生、 YouTakaoka 先生 に感謝感謝です♡