大学数学基礎解説

みゆ🌹式分数分解でマチンの公式を作ろう♪

円周率,マチンの公式,みゆ🌹の魔法

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みゆ🌹式分数分解でマチンの公式を作ろう♪

マチンの公式

ご存知の方がほとんどかと思われますが、マチンの公式っていうのは

$\frac{π}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}$

こーゆーのです。これの右辺をグレゴリー級数とかいう次の式

$\arctan x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{7} x^{7} + - \dots (| x | < 1)$

で計算してあげると、なんかめっちゃ速く収束してくれるらしく、円周率を求めるのに適しているんだとか。

このマチンの公式に類似した式はいろいろ発見されていて、いずれも $\frac{π}{4} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \arctan \frac{1}{b_{k}}$ という形をしているのが特徴です。引数の分子が $1$ なのは恐らくグレゴリー級数にしたとき少しでも計算をラクにするためかと思われます。

ところで先日、円周率の日に $\arctan$ 牛タンを食べに行ったんですよ（唐突）。で、タンだけに $\tan \tan$ と食べて $\tan$ ですけど(←)、そのときふと

$\frac{π}{2} = 5 \arctan \frac{1}{3} - \arctan \frac{1}{26} + \arctan \frac{1}{2057}$

って式を思いついちゃいました。正確にはマチン系の公式にて全ての引数の分子を $1$ にする「逆正接関数の分解定理」とゆーアイデアを思いついてそれを適用してみたわけなんですが、なかなか面白かったので紹介してみたいと思います。(∩´∀｀)∩

作り方

まずは、ベースとなるイメージから(*´∀｀*)b
イメージ図

$\begin{aligned} Arg Z_{θ} = & Arg Z^{N} - Arg Z^{N} + Arg Z_{θ} \\ ↓ \\ Z_{θ} = & Z^{N} \times \frac{Z_{θ}}{Z^{N}} \\ ↓ \\ (Re Z_{θ} + i Im Z_{θ}) = & (Re Z + i Im Z)^{N} \times \frac{Re Z_{θ} + i Im Z_{θ}}{Re Z^{N} + i Im Z^{N}} \\ = & (Re Z + i Im Z)^{N} \times \frac{Re Z^{N} - i Im Z^{N}}{Re Z^{N} - i Im Z^{N}} \cdot \frac{Re Z_{θ} + i Im Z_{θ}}{Re Z^{N} + i Im Z^{N}} \\ = & (Re Z + i Im Z)^{N} \times \frac{[(Re Z^{N}) (Re Z_{θ}) + (Im Z^{N}) (Im Z_{θ})] + i [(Re Z^{N}) (Im Z_{θ}) - (Im Z^{N}) (Re Z_{θ})]}{(Re Z^{N})^{2} + (Im Z^{N})^{2}} \\ ↓ \\ \arctan \frac{Im Z_{θ}}{Re Z_{θ}} = & N \arctan \frac{Im Z}{Re Z} + \arctan \frac{(Re Z^{N}) (Im Z_{θ}) - (Im Z^{N}) (Re Z_{θ})}{(Re Z^{N}) (Re Z_{θ}) + (Im Z^{N}) (Im Z_{θ})} \\ θ = & N \arctan \frac{Im Z}{Re Z} + \arctan \frac{Re Z^{N} \cdot \sin θ - Im Z^{N} \cdot \cos θ}{Re Z^{N} \cdot \cos θ + Im Z^{N} \cdot \sin θ} \end{aligned}$

ここで、第一項目の分子を $1$ にしたいので、 $Im Z = 1$ とすれば

${\begin{cases} \frac{π}{4} = N \arctan \frac{1}{Re Z} + \arctan \frac{Re Z^{N} - Im Z^{N}}{Re Z^{N} + Im Z^{N}} \\ \frac{π}{2} = N \arctan \frac{1}{Re Z} + \arctan \frac{Re Z^{N}}{Im Z^{N}} \\ π = N \arctan \frac{1}{Re Z} - \arctan \frac{Im Z^{N}}{Re Z^{N}} \end{cases}$

となります。 $Im Z^{N} \neq (Im Z)^{N} = 1$ ってことに注意してね。

もちろん、この時点では二項目の分子が $1$ になってくれる保証はありません。
そこで登場するのが逆正接関数の分解定理を用いた「みゆ式分数分解（牛tan分解）」です！！

逆正接関数の分解定理　by みゆ🌹ฅ^•ω•^ฅ

逆正接関数( $\arctan$ )の引数が有理数のとき、その関数の値は分子を１とする有理分数を引数に持つ逆正接関数の和で表せる。 $\arctan \frac{q}{p q \pm r} = \arctan \frac{1}{p} \mp \arctan \frac{r}{(p q \pm r) p + q}$ $\arctan \frac{1}{p} = \arctan \frac{q}{p q \pm r} \pm \arctan \frac{r}{(p q \pm r) p + q}$ (※複号同順)

証明については $(p + i) (p - i) (p q \pm r + q i) = (p + i) [(p q \pm r) p + q \mp r i]$ と瞬殺させていただくとして、ここで注目すべきは $分母 \equiv \pm r (\mod 分子)$ を得るところ。

つまり、 $q > r$ となるような $r$ をとることは確実に可能ですから、同じ操作を再帰的に繰り返すことでいずれは全ての引数の分子を $1$ にできるってわけです。さながらエジプト式分数みたいな分解方法ですが、みゆ式分数分解ではこれを逆正接関数 $\arctan$ の引数でやってしまいます(*´艸｀*)

これを使えば、いくらでもマチン系の公式を量産できそうですね。例えば初項を $5 \arctan \frac{1}{6}$ としてみましょうか。 $(6 + i)^{5} = 5646 + 6121 i$ ですから $5 \arctan \frac{1}{6} = \arctan \frac{6121}{5646}$ 、分子が分母よりやや大きいことから $45^{\circ}$ すなわち $\frac{π}{4} rad$ よりやや大きいことが分かります。その差がどのくらいかというと

$\begin{aligned} (5646 + 6121 i) \times \overset{Arg (1 - i) = - \frac{π}{4}}{\overset{⏞}{(1 - i)}} = & 11767 + 475 i \\ ↓ \\ \arctan \frac{6121}{5646} \underset{- \frac{π}{4}}{\underset{⏟}{- \arctan \frac{1}{1}}} = & \arctan \frac{475}{11767} \end{aligned}$

それさえ分かれば、あとはひたすら分解していくだけ！

$\begin{aligned} \frac{π}{4} = & 5 \arctan \frac{1}{6} - \arctan \frac{475}{11767} \\ = & 5 \arctan \frac{1}{6} - \arctan \frac{1}{25} - \arctan \frac{54}{147325} \\ = & 5 \arctan \frac{1}{6} - \arctan \frac{1}{25} - \arctan \frac{1}{2728} + \arctan \frac{13}{401902654} \\ = & 5 \arctan \frac{1}{6} - \arctan \frac{1}{25} - \arctan \frac{1}{2728} + \arctan \frac{1}{30915588} - \arctan \frac{2}{2485011373434113} \\ = & 5 \arctan \frac{1}{6} - \arctan \frac{1}{25} - \arctan \frac{1}{2728} + \arctan \frac{1}{30915588} - \arctan \frac{1}{1242505686717056} + \arctan \frac{1}{3087640763048447064255689331330} \end{aligned}$
Wolfram Alpha 先生による答え合わせ