皆さんご存じ(?)なあの有名な公式…
このオイラーの公式を微分方程式を用いて証明したいと思います。
まず
この両辺をxで微分すると
なんだかyとy'は形が似ていますね。ではy'の方をiで括ってみると…
あれ、このカッコの中身、どこかで見たことあるぞ…?あ、yじゃないか!!
(白々しくてすいません。)
というわけでこれらから
ということが分かります。あとはもうゴールへまっしぐら。こんないかにも積分してくれといっているような左辺では悩む必要もありませんね(笑)
さて今回の初期条件は…まあ分かりやすくx=0の時を考えましょう。x=0のとき
よって
このオイラーの公式に
恐らく数学界で最も有名なあの等式……
これが導けますね。やっぱり、オイラーの等式は綺麗…