微分方程式を用いたオイラーの公式の証明

導入

皆さんご存じ（？）なあの有名な公式…

このオイラーの公式を微分方程式を用いて証明したいと思います。

証明

まず$$y = \cos x + i \sin x$$　とおきます。

この両辺をxで微分すると$$y'= -\sin x + i \cos x$$　となります。

なんだかyとy'は形が似ていますね。ではy'の方をiで括ってみると…
$$ y'= i \left( i\sin x + \cos x \right)=i \left( \cos x + i\sin x \right) $$

あれ、このカッコの中身、どこかで見たことあるぞ…？あ、yじゃないか！！
（白々しくてすいません。）

というわけでこれらから
$$ \frac{y'}{y} =\frac{i \left( \cos x + i\sin x \right)}{ \left( \cos x + i\sin x \right)}=i $$

ということが分かります。あとはもうゴールへまっしぐら。こんないかにも積分してくれといっているような左辺では悩む必要もありませんね（笑）

$$ \int\frac{y'}{y} dx=\int i dx $$
$$ \log y + C'=ix $$
$$ y=C \cdot e^{ix} $$

さて今回の初期条件は…まあ分かりやすくx=0の時を考えましょう。x=0のとき
$$y = \cos 0 + i \sin 0=1$$　となればいいから、

$$C \cdot e^{i \cdot 0}=C=1$$　と分かります。

よって$$ y= \cos x + i \sin x=e^{ix} $$　となる事が分かりました。

最後に

このオイラーの公式に$ x=\pi $を代入して移項すると…

恐らく数学界で最も有名なあの等式……

これが導けますね。やっぱり、オイラーの等式は綺麗…