積分botの積分
今回は
こちら
の式を証明します。
$K(x)$を第一種完全楕円積分とします。
$$\int_0^1 \frac{K(x)}{\sqrt{1-x^2}} \ dx= \frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^4}{16\pi} $$
$$\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n} \theta \ d\theta=\frac{\pi}{2}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$$
$\ds I_n =\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}\theta \ d\theta$とおく。すると、
\begin{align}
I_n&=\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}\theta \ d\theta\\&=\int_0^\frac{\pi}{2} \sin\theta\sin^{2n-1}\theta \ d\theta\\
&= [-\cos\theta \sin^{2n-1}\theta]_0^\frac{\pi}{2}+(2n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^2\theta\sin^{2n-2}\theta \ d\theta\\
&=(2n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}(1-\sin^2\theta)\sin^{2(n-1)}\theta \ d\theta\\
&=(2n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2(n-1)}\theta \ d\theta-(2n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}\theta \ d\theta\\
&=(2n-1)I_{n-1}-(2n-1)I_n
\end{align}
となるから$\ds I_n=\frac{2n-1}{2n}I_{n-1}$という漸化式が導かれる。
また、初項である$I_0$は
\begin{align}
I_0&=\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2\cdot 0}\theta \ d\theta\\
&=\int_0^\frac{\pi}{2} d\theta\\
&=\frac{\pi}{2}
\end{align}
だから
\begin{align}
I_n&=\frac{\pi}{2}\cdot\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdots\frac{2n-1}{2n}\\
&=\frac{\pi}{2}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}
\end{align}
$\ds K(x)=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2x^{2n}$
\begin{align} K(x)&=F\left(\frac{\pi}{2},x\right)\\ &=\int_0^\frac{\pi}{2}(1-x^2\sin^2\theta)^{-\frac12} \ d\theta\\ &=\int_0^\frac{\pi}{2}\left(1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{2^n}\frac{(x^2\sin^2\theta)^n}{n!}\right) \ d\theta\\ &=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}\theta \ d\theta\\ &=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}\frac{\pi}{2}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\ &=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2x^{2n} \end{align}
これで証明の準備が整いました。
まず、$K(x)$を級数展開して変形します。
\begin{align}
\int_0^1 \frac{K(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx &= \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2x^{2n} \ dx\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\int_0^1 \frac{x^{2n}}{\sqrt{1-x^2}} \ dx\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}x \ dx\\
&=\frac{\pi^2}{4}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^3\\
\end{align}
なんだか$\ds \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^3$がとても厄介そうですね。
とりあえずできる範囲で式変形してみます。
\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^3&=
\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n^3}{n!^3}\\
&={}_3F_2\left[
\begin{matrix}
\frac12,\frac12,\frac12 \\
1,1\\
\end{matrix}
;1\right]
\end{align}
ここでDixonの恒等式で$\ds a=b=c=\frac12$とすれば
\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^3&={}_3F_2\left[
\begin{matrix}
\frac12,\frac12,\frac12 \\
1,1\\
\end{matrix}
;1\right]\\
&= \frac{\Gamma\left(1+\frac{1}{4}\right)\Gamma\left(1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(1+\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)}\\
&= \frac{\frac14\Gamma\left(\frac14\right)\Gamma\left(\frac14\right)\Gamma\left(1\right)\Gamma\left(1\right)}{\frac12\Gamma\left(\frac12\right)\Gamma\left(\frac12\right)\Gamma\left(\frac34\right)\Gamma\left(\frac34\right)}\\
&=\frac1{2\pi}\frac{\Gamma\left(\frac14\right)^2\Gamma\left(\frac34\right)^2}{\Gamma\left(\frac34\right)^4}\\
&=\frac1{2\pi}\frac{2\pi^2}{\Gamma\left(\frac34\right)^4}\\
&=\frac{\pi}{\Gamma\left(\frac34\right)^4}
\end{align}
ここで相反公式より$\ds \Gamma\left(\frac34\right)=\frac{1}{\Gamma\left(\frac14\right)}\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt2\pi}{\Gamma\left(\frac14\right)}$が成り立つので
\begin{align}
\int_0^1 \frac{K(x)}{\sqrt{1-x^2}} \ dx&=\frac{\pi^2}{4}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^3\\&=
\frac{\pi^2}{4}\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n^3}{n!^3}\\
&=\frac{\pi^2}{4}{}_3F_2\left[
\begin{matrix}
\frac12,\frac12,\frac12 \\
1,1\\
\end{matrix}
;1\right]\\
&=\frac{\pi^3}{\Gamma\left(\frac34\right)^4}\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^4}{16\pi}
\end{align}
レムニスケート周率$\varpi$を用いればこの積分は$\ds \frac{\varpi^2}{2}$と表現できます。