素数は無限個存在する

素数が有限個($n$個)存在すると仮定する。その素数全体を$p_1,p_2,\dots ,p_n$と表すことにする。ここで，
$$p:=p_1{p}_2\cdots p_n+1$$
という数を考えると，$p$はいずれの$p_i(1\le i\le n)$でも割り切れない。よって，$p$は$n+1$個目の素数となるが，これは素数が$n$個であることに反する。よって，素数は無限個存在する。

素数が有限個($n$個)存在すると仮定する。その素数全体を$p_1,p_2,\dots ,p_n$と表すことにする。素因数分解の一意性により，
$$\prod _{i=1}^n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{p_i^k}}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{k}}$$
この式の右辺は調和級数であり，無限大に発散する。左辺については等比無限級数の公式から
$$\prod _{i=1}^n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{p_i^k}}=\prod _{i=1}^n{\displaystyle \frac{p_i}{p_i-1}}$$
であり，これは有限確定値である。これは右辺が発散することに反する。よって，素数は無限個存在する。

$m$と$n$は入れ替えても一般性を失わないので，$m<n$とする。命題1より
$$F_n=F_{n-1}{F}_{n-2}\cdots F_m\cdots F_1{F}_0+2$$
が成り立つ。ここで，$F_m$と$F_n$を共に割り切る素数が存在するとし，それを$p$とする。このとき，上の式の右辺第1項は$p$で割り切れる。$F_n$も$p$で割り切れるが，右辺第2項の$2$も割り切らなければならないので，$p=2$であることがわかる。一方，$F_m$と$F_n$は定義よりどちらも奇数なので，素因数$2$を持たない。よって，$F_m$と$F_n$は互いに素である。

各Fermat数$F_n$($n\ge 0$)に対して，その素因数$p_n$をそれぞれ1つ選ぶ。命題2より，Fermat数は互いに素なので，これにより得られた素数$p_1,p_2,\dots$はいずれも相異なる。Fermat数は無限に存在するので，このようにすれば無限に素数を生成できる。よって，素数は無限個存在する。