数列$\{a_n\},\{b_n\}$を次の漸化式で定める。
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_1=A \\
b_1=B \\
a_{n+1}+b_n=0 \\
b_{n+1}+2a_n=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
(1)$p_n=a_n+xb_n$とおくとき、$p_{n+1}+yp_n=0$を満たす実数$x,y$を求めよ。
(2)$a_n,b_n$を求めよ。
次に、数列$\{c_n\},\{d_n\}$を次の漸化式で定める。
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
c_1=1 \\
d_1=1 \\
c_{n+1}+d_n=2^n \\
d_{n+1}+2c_n=3^n
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
(3)関数$f(n),g(n)$を$$f(n)=\alpha\cdot 2^n+\beta\cdot 3^n,g(n)=\gamma\cdot2^n+\delta\cdot 3^n$$と定める。このとき、
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f(n+1)+g(n)=2^n \\
g(n+1)+2f(n)=3^n
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
を満たすように定数$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$の値を定めよ。
(4)$c_n=a_n+f(n),d_n=b_n+g(n)$とおき、適当に定数$A,B$を決めると$c_n,d_n$は漸化式を満たすことを示せ。また、$c_n,d_n$を求めよ。
（第3式）+$x$×（第4式）より、$$(a_{n+1}+xb_{n+1})+(b_n+2xa_n)=(a_{n+1}+xb_{n+1})+2x\left(a_n+\frac{1}{2x}b_n\right)=0$$であるので、$x=\frac{1}{2x}$を解いて$x=\pm\frac{1}{\sqrt 2}$。式を見て、$y=2x=\pm\sqrt 2$
(1)の結果から、$a_n\pm\frac{1}{\sqrt 2}b_n$はそれぞれ公比$\mp\sqrt 2$の等比数列をなす。したがって、$$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_n+\frac{1}{\sqrt 2}b_n=(A+\frac{1}{\sqrt 2}B)\cdot(-\sqrt 2)^{n-1} \\
a_n-\frac{1}{\sqrt 2}b_n=(A-\frac{1}{\sqrt 2}B)\cdot(\sqrt 2)^{n-1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $$
となって、これらを$a_n,b_n$について解けばよい。
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_n=\frac 12\left((A+\frac{1}{\sqrt 2}B)\cdot(-\sqrt 2)^{n-1}+(A-\frac{1}{\sqrt 2}B)\cdot(\sqrt 2)^{n-1}\right) \\
b_n=\frac{1}{\sqrt 2}\left((A+\frac{1}{\sqrt 2}B)\cdot(-\sqrt 2)^{n-1}-(A-\frac{1}{\sqrt 2}B)\cdot(\sqrt 2)^{n-1}\right)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
$f(n),g(n)$を条件式に代入すると、$$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(2\alpha+\gamma)2^n+(3\beta+\delta)3^n=2^n \\
(2\alpha+2\gamma)2^n+(2\beta+3\delta)3^n=3^n
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $$
となる。これより2組の連立方程式
$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2\alpha+\gamma=1 \\
2\alpha+2\gamma=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $,$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3\beta+\delta=0 \\
2\beta+3\delta=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $を解けばよい。
よって、$\alpha=1,\beta=-\frac 17,\gamma=-1,\delta=\frac 37$
$c_n=a_n+f(n),d_n=b_n+g(n)$として漸化式に代入すると、$$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
c_{n+1}+d_n=(a_{n+1}+b_n)+\left(f(n+1)+g(n)\right)=0+2^n=2^n \\
d_{n+1}+2c_n=(b_{n+1}+2a_n)+\left(g(n+1)+2f(n)\right)=0+3^n=3^n
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $$
であり、確かに漸化式を満たす。$$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
c_1=a_1+f(1)=A+2-\frac 37=1 \\
d_1=b_1+g(1)=B-2+\frac 97=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $$
より、$A=-\frac 47,B=\frac{12}{7}$とすれば、$$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
c_n=\frac 27\left(\left(-1+\frac{3}{\sqrt 2}\right)\cdot(-\sqrt 2)^{n-1}+\left(-1-\frac{3}{\sqrt 2}\right)\cdot(\sqrt 2)^{n-1}\right)+2^n-\frac 17\cdot 3^n \\
d_n=\frac {2\sqrt 2}{7}\left(\left(-1+\frac{3}{\sqrt 2}\right)\cdot(-\sqrt 2)^{n-1}-\left(-1-\frac{3}{\sqrt 2}\right)\cdot(\sqrt 2)^{n-1}\right)-2^n+\frac 37\cdot 3^n
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $$