自作問題の解答 2021.3.17

問題

数列$\{a_n\},\{b_n\}$を次の漸化式で定める。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{a}_1=A\\ b_1=B\\ a_{n+1}+b_n=0\\ b_{n+1}+2a_n=0\end{array}\end{array}$$
(1)$p_n=a_n+x{b}_n$とおくとき、$p_{n+1}+y{p}_n=0$を満たす実数$x,y$を求めよ。
(2)$a_n,b_n$を求めよ。

次に、数列$\{c_n\},\{d_n\}$を次の漸化式で定める。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{c}_1=1\\ d_1=1\\ c_{n+1}+d_n=2^n\\ d_{n+1}+2c_n=3^n\end{array}\end{array}$$
(3)関数$f(n),g(n)$を$$f(n)=\alpha \cdot 2^n+\beta \cdot 3^n,g(n)=\gamma \cdot 2^n+\delta \cdot 3^n$$と定める。このとき、
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}f(n+1)+g(n)=2^n\\ g(n+1)+2f(n)=3^n\end{array}\end{array}$$
を満たすように定数$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$の値を定めよ。
(4)$c_n=a_n+f(n),d_n=b_n+g(n)$とおき、適当に定数$A,B$を決めると$c_n,d_n$は漸化式を満たすことを示せ。また、$c_n,d_n$を求めよ。

解答

1. （第3式）+$x$×（第4式）より、$$(a_{n+1}+x{b}_{n+1})+(b_n+2x{a}_n)=(a_{n+1}+x{b}_{n+1})+2x(a_n+\frac{1}{2x}{b}_n)=0$$であるので、$x=\frac{1}{2x}$を解いて$x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。式を見て、$y=2x=\pm \sqrt{2}$

2. (1)の結果から、$a_n\pm \frac{1}{\sqrt{2}}{b}_n$はそれぞれ公比$\mp \sqrt{2}$の等比数列をなす。したがって、$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{a}_n+\frac{1}{\sqrt{2}}{b}_n=(A+\frac{1}{\sqrt{2}}B)\cdot (-\sqrt{2}{)}^{n-1}\\ a_n-\frac{1}{\sqrt{2}}{b}_n=(A-\frac{1}{\sqrt{2}}B)\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1}\end{array}\end{array}$$
   となって、これらを$a_n,b_n$について解けばよい。
   $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{1}{2}((A+\frac{1}{\sqrt{2}}B)\cdot (-\sqrt{2}{)}^{n-1}+(A-\frac{1}{\sqrt{2}}B)\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1})\\ b_n=\frac{1}{\sqrt{2}}((A+\frac{1}{\sqrt{2}}B)\cdot (-\sqrt{2}{)}^{n-1}-(A-\frac{1}{\sqrt{2}}B)\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1})\end{array}\end{array}$$

3. $f(n),g(n)$を条件式に代入すると、$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}(2\alpha +\gamma )2^n+(3\beta +\delta )3^n=2^n\\ (2\alpha +2\gamma )2^n+(2\beta +3\delta )3^n=3^n\end{array}\end{array}$$
   となる。これより2組の連立方程式
   $\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}2\alpha +\gamma =1\\ 2\alpha +2\gamma =0\end{array}\end{array}$,$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}3\beta +\delta =0\\ 2\beta +3\delta =1\end{array}\end{array}$を解けばよい。
   よって、$\alpha =1,\beta =-\frac{1}{7},\gamma =-1,\delta =\frac{3}{7}$

4. $c_n=a_n+f(n),d_n=b_n+g(n)$として漸化式に代入すると、$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{c}_{n+1}+d_n=(a_{n+1}+b_n)+(f(n+1)+g(n))=0+2^n=2^n\\ d_{n+1}+2c_n=(b_{n+1}+2a_n)+(g(n+1)+2f(n))=0+3^n=3^n\end{array}\end{array}$$
   であり、確かに漸化式を満たす。$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{c}_1=a_1+f(1)=A+2-\frac{3}{7}=1\\ d_1=b_1+g(1)=B-2+\frac{9}{7}=1\end{array}\end{array}$$
   より、$A=-\frac{4}{7},B=\frac{12}{7}$とすれば、$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{c}_n=\frac{2}{7}((-1+\frac{3}{\sqrt{2}})\cdot (-\sqrt{2}{)}^{n-1}+(-1-\frac{3}{\sqrt{2}})\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1})+2^n-\frac{1}{7}\cdot 3^n\\ d_n=\frac{2\sqrt{2}}{7}((-1+\frac{3}{\sqrt{2}})\cdot (-\sqrt{2}{)}^{n-1}-(-1-\frac{3}{\sqrt{2}})\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1})-2^n+\frac{3}{7}\cdot 3^n\end{array}\end{array}$$