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素因数分解の一意性

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

素因数分解とは

素因数分解とは,ある自然数をいくつかの素数の積で表すことである。現在は中学3年生で学習するようである。高等学校でも,数学Aの「整数の性質」で再考するが,詳細は明記されていない。

素因数分解の一意性

学生はあまり意識しないが,素因数分解は積の順序を除けばただ1通りで表すことができる。実は明らかではなく,教科書を見ても「よく知られている」と書かれてあるだけである。ここでは,その事実を証明してみよう。

記号

$\N$を自然数全体の集合,$\Z$を整数全体の集合とする。$x \in \N$とある場合には,「$x$は自然数である」という意味である。

素因数分解の一意性を証明するために,次の補題を準備する。

ユークリッドの補題

$p$が素数 $\Longleftrightarrow$ $p > 1$かつ$a,b \in \Z$に対して,$ab$$p$の倍数ならば,$a$または$b$$p$の倍数

($\Longrightarrow$)
 $p$を素数とし,$ab$$p$の倍数とする。$a, p$の最大公約数を$g$とすると,$p$は素数なので,$g=p$または$d=1$である。$g=p$のとき,$a$$p$の倍数。$d=1$のときは,ある$x, y \in \Z$が存在して,$ax+py=1$。両辺$b$倍すると,$b = abx + bpy$となるが,$abx$$p$の倍数なので,$b$$p$の倍数となる。

($\Longleftarrow$)
 $d$$p$の正の約数とすると,ある$\ell \in \Z$が存在して,$p = \ell d \quad \cdots (★)$
 $\ell d$$p$の倍数であるから,仮定より,$\ell$または$d$$p$の倍数である。

  • $\ell$$p$の倍数であるから,ある$x \in \Z$が存在して,$\ell = px$。(★)より,$p = pxd$ すなわち $xd = 1$を得る。$d > 0$なので$d = 1$
  • $d$$p$の倍数であるから,ある$y \in \Z$が存在して,$d = py$。(★)より,$p = \ell py$ すなわち $\ell y = 1$を得る。(★)から$\ell > 0$がわかるので,$\ell = 1$。 $\therefore \ d = p$

以上より,$p$の正の約数は$1$または$p$であるから,$p$は素数である。

この補題を利用すると,次の定理が証明できる。

素因数分解の一意性

任意の$a \in \N$に対して,ある素数$p_{i}$が存在して
$$ a = p_{1} \cdots p_{n} $$
と(積の順序を除いて)一意的に表すことができる。

【素因数分解可能性】
 $a=1$のときは,0個の素数の積で表せると考えればよいので,以下$a>1$としよう。
素数の積で表せない1より大きい自然数が存在すると仮定する。最小性原理により,そのような最小の$a \in \N$がとれる。$a$は素数ではないので,$1 < b, c < a$を満たす$b, c \in \N$が存在して,$a = bc$$a$の最小性により,$b, c$は素数の積に分解できるから,$a$もそれらの積で表すことができる。

【一意的】
 2通りの素数の積で表せる自然数が存在すると仮定する。このような自然数を$a$とする。$a$が素数$p_{i}, q_{i}$を用いて
$$ a = p_{1} \cdots p_{m} = q_{1} \cdots q_{n} \quad (m \leq n) $$
と表せているとしよう。$q_{1} \cdots q_{n}$$p_{1}$で割り切れるので,$p_{1}$$q_{1}$の約数としても一般性を失わない。これを繰り返して$p_{2} = q_{2}, \ldots , p_{m} = q_{m}$となる。$q_{i}$は素数であるから,$p_{i} = q_{i}$($1 \leq i \leq m$)であることがわかる。もとの式より,$m< n$ならば
$$ 1 = q_{m+1} \cdots q_{n} $$
となり不適。よって,$m = n$である。

投稿日:2021318

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