πが無理数であることの簡単な証明

$\pi$が有理数であると仮定し，$\pi =a/b$とする．ここで$a,b$は正の整数である．次の多項式を考える．
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{x^n(a-bx{)}^n}{n!},\\ F(x)& =f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-\cdots +(-1{)}^n{f}^{(2n)}(x).\end{array}$$
ただし，ここで$n$は後で定められる正の整数である．$n!f(x)$は整数係数の多項式であり，さらに$x$についての次数が$n$以上であることから，$f(x)$およびそのすべての導関数$f^{(j)}(x)$の$x=0$における値は整数である（補足：$f(x),\dots ,f^{(n-1)}(x)$は$x=0$での値が$0$であり，$f^{(j)}(0)$の値が$0$でなくなるのは$f^{(n)}$以降だが，$f(x)$を$n$回微分すると分母の$n!$はキャンセルされる）．また，$f(x)=f(a/b-x)$より，$x=\pi$においても同様に，$f(x)$およびそのすべての導関数$f^{(j)}(x)$の値は整数となる（補足：$f^{(j)}(x)=(-1{)}^j{f}^{(j)}(a/b-x)$に$x=\pi$を代入してみればよい）．次に，初等的な微積分の計算から，
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dx}\{F^{\prime }(x)\sin x-F(x)\cos x\}=F^{″}(x)\sin x+F(x)\sin x=f(x)\sin x\end{array}$$
が成立することがわかる．ここで二つ目の等号では$F(x)$の定義および$f(x)$が$2n$次の多項式であることから
$$\begin{array}{r}{F}^{″}(x)=f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)+f^{(6)}(x)-\cdots +(-1{)}^{n-1}{f}^{(2n)}(x)\end{array}$$
となることを用いた．これよりさらに，
$$\begin{array}{r}(\text{1}){\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx={[F^{\prime }(x)\sin x-F(x)\cos x]}_0^{\pi }=F(\pi )+F(0)\end{array}$$
を得る．いま，すべての$f^{(j)}(0)$および$f^{(j)}(\pi )$が整数であることから，$F(\pi )+F(0)$も整数である．しかし，一方で，$0<x<\pi$の範囲の$x$に対して，
$$\begin{array}{r}0<f(x)\sin x=\frac{x^n(a-bx{)}^n}{n!}\sin x<\frac{{\pi }^n{a}^n}{n!}\end{array}$$
が成立する（補足：$\sin x$を$1$で上から抑え，$x^n(a-bx{)}^n$を${\pi }^n{a}^n$で上から抑えた）．これより，式(1)の左辺の積分に対して
$$\begin{array}{r}0<{\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx<{\int }_0^{\pi }\frac{{\pi }^n{a}^n}{n!}dx=\frac{{\pi }^{n+1}{a}^n}{n!}\end{array}$$
が成立するが，上式右辺は$n$を大きくしていくといくらでも小さくなる（補足：一般に任意の正数$\alpha$に対し${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\alpha }^n}{n!}=0}$が成り立つ）．特に十分大きな$n$に対して${\displaystyle \frac{{\pi }^{n+1}{a}^n}{n!}}<1$とできる．このような$n$に対しては，式(1)の左辺の積分は整数になり得ないが，式(1)の右辺の$F(\pi )+F(0)$は整数であるから矛盾．したがって$\pi$は無理数である．