πが無理数であることの簡単な証明

$\pi$が有理数であると仮定し，$\pi=a/b$とする．ここで$a,b$は正の整数である．次の多項式を考える．
\begin{align} f(x) &= \frac{x^n(a-bx)^n}{n!},\\ F(x) &= f(x) - f^{(2)}(x) + f^{(4)}(x) - \cdots + (-1)^n f^{(2n)}(x). \end{align}
ただし，ここで$n$は後で定められる正の整数である．$n!f(x)$は整数係数の多項式であり，さらに$x$についての次数が$n$以上であることから，$f(x)$およびそのすべての導関数$f^{(j)}(x)$の$x=0$における値は整数である（補足：$f(x),\ldots,f^{(n-1)}(x)$は$x=0$での値が$0$であり，$f^{(j)}(0)$の値が$0$でなくなるのは$f^{(n)}$以降だが，$f(x)$を$n$回微分すると分母の$n!$はキャンセルされる）．また，$f(x)=f(a/b-x)$より，$x=\pi$においても同様に，$f(x)$およびそのすべての導関数$f^{(j)}(x)$の値は整数となる（補足：$f^{(j)}(x) = (-1)^j f^{(j)}(a/b-x)$に$x=\pi$を代入してみればよい）．次に，初等的な微積分の計算から，
\begin{align} \frac{d}{dx} \left\{ F'(x) \sin x - F(x) \cos x \right\} = F''(x) \sin x + F(x) \sin x = f(x) \sin x \end{align}
が成立することがわかる．ここで二つ目の等号では$F(x)$の定義および$f(x)$が$2n$次の多項式であることから
\begin{align} F''(x) = f^{(2)}(x) - f^{(4)}(x) + f^{(6)}(x) - \cdots + (-1)^{n-1} f^{(2n)}(x) \end{align}
となることを用いた．これよりさらに，
\begin{align} (\text{1}) \quad \quad \quad \int_0^{\pi} f(x) \sin x \,dx = \left[ F'(x)\sin x - F(x) \cos x \right]_0^{\pi} = F(\pi) + F(0) \end{align}
を得る．いま，すべての$f^{(j)}(0)$および$f^{(j)}(\pi)$が整数であることから，$F(\pi) + F(0)$も整数である．しかし，一方で，$0< x<\pi$の範囲の$x$に対して，
\begin{align} 0 < f(x) \sin x = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!} \sin x < \frac{\pi^n a^n}{n!} \end{align}
が成立する（補足：$\sin x$を$1$で上から抑え，$x^n(a-bx)^n$を$\pi^n a^n$で上から抑えた）．これより，式(1)の左辺の積分に対して
\begin{align} 0 < \int_0^{\pi} f(x) \sin x \,dx < \int_0^{\pi} \frac{\pi^n a^n}{n!} \,dx = \frac{\pi^{n+1} a^n}{n!} \end{align}
が成立するが，上式右辺は$n$を大きくしていくといくらでも小さくなる（補足：一般に任意の正数$\alpha$に対し$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\alpha^n}{n!}=0$が成り立つ）．特に十分大きな$n$に対して$\dfrac{\pi^{n+1} a^n}{n!} < 1$とできる．このような$n$に対しては，式(1)の左辺の積分は整数になり得ないが，式(1)の右辺の$F(\pi) + F(0)$は整数であるから矛盾．したがって$\pi$は無理数である．