πとlog(n)の無理性

$r={\displaystyle \frac{q}{p}}$と既約分数表示する．十分大きい正整数$n$に対して$f(x)={\displaystyle \frac{x^n(q-px{)}^n}{n!}}$が条件を満たすことを示す．
(1) $f(x)$の高階微分係数は
$$f^{(k)}(x)=\sum _{i+j=k}{\displaystyle \frac{(x^n{)}^{(i)}((q-px{)}^n{)}^{(j)}}{n!}}$$
と表せる．右辺に$x=0$を代入すると$i\ne n$の項は$0$となり、$i=n$の項は整数となる．同様に$x=r$を代入しても整数になることが確かめられる．
(2) 定義より$0<x<r$において$0<f(x)<{\displaystyle \frac{r^n{q}^n}{n!}}$が成り立つ．右辺は$n\to \mathrm{\infty }$で$0$に収束するので、$n$を十分大きく取ればこの範囲で$0<f(x)<\epsilon$となる．

部分積分を繰り返すと
$${\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx=[-f(x)\cos x{]}_0^{\pi }-[-f^{\prime }(x)\sin x{]}_0^{\pi }+\cdots$$
となり、この値は$f$の$x=0,\pi$における高階微分係数の整数係数線型結合で表せるのでよい．

$\pi$が有理数であると仮定して矛盾を導く．命題2より以下の条件を満たす実数係数多項式$f(x)$が存在する：

• $x=0,\pi$における$f(x)$の高階微分係数は全て整数である．
• $0<x<\pi$の範囲で$0<f(x)<{\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

命題3より${\displaystyle {\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx}$も整数となるが、2つめの条件より$0<{\displaystyle {\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx<1}$なので矛盾する．

部分積分を繰り返すと
$${\int }_0^{\log n}f(x)e^{x}dx=[f(x)e^x{]}_0^{\log n}-[f^{\prime }(x)e^x{]}_0^{\log n}+\cdots$$
となり、この値は$f$の$x=0,\log n$における高階微分係数の整数係数線型結合で表せるのでよい．

$\log n$が有理数であると仮定して矛盾を導く．命題2より以下の条件を満たす実数係数多項式$f(x)$が存在する：

• $x=0,\log n$における$f(x)$の高階微分係数は全て整数である．
• $0<x<\log n$の範囲で$0<f(x)<{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$である．

命題3より${\displaystyle {\int }_0^{\log n}f(x)e^{x}dx}$も整数となるが、2つめの条件より$0<{\displaystyle {\int }_0^{\log n}f(x)e^{x}dx<1}$なので矛盾する．