モーリーの定理を証明する

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自分で考えた内容なので参考文献が存在しません

謎の角度を急に設定するような同一法を避けた,初等的な証明を考えました.

モーリーの定理

三角形の3つの内角の3等分線の,辺に近い2つずつの交点は,正三角形の頂点をなす.

三角形 $A B C$ の内角の3等分線の,辺に近い2つずつの交点を図のように $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ とし,外角の3等分線についても同様に,交点を $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ とする.また,直線 $B I_{1}, J_{1} C$ の交点を $P_{1}$ ,直線 $C I_{1}, J_{1} B$ の交点を $P_{2}$ とし,同様に点 $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $R_{1}$ , $R_{2}$ を定める. $∠ B A I_{3} = ∠ I_{3} A I_{2} = ∠ I_{2} A C = α$ , $∠ C B I_{1} = ∠ I_{1} B I_{3} = ∠ I_{3} B A = β$ , $∠ A C I_{2} = ∠ I_{2} C I_{1} = ∠ I_{1} C B = γ$ とする.

点の定義
簡単な角度計算により $B P_{1} C \sim B A I_{3} \sim Q_{2} A C$ , $C P_{2} B \sim C A I_{2} \sim R_{1} A B$ , $B R_{2} A \sim B C I_{1} \sim Q_{1} C A$
がわかり, $B, C, P_{1}, P_{2}$ と $C, A, Q_{1}, Q_{2}$ と $A, B, R_{1}, R_{2}$ の共円もわかる.

$P_{1} P_{2}$ と $C J_{2}, B J_{3}$ の交点を $J_{2}^{'}, J_{3}^{'}$ とする.このとき $B, C, P_{1}, P_{2}$ の共円から $∠ J_{2}^{'} P_{1} C = ∠ J_{1} B C$
$∠ J_{2}^{'} C P_{1} = ∠ J_{1} C B$ から $J_{2}^{'} C P_{1} \sim J_{1} C B$ $∴$ $P_{1} C : J_{2}^{'} C = B C : J_{1} C$
また, $∠ P_{1} C B = ∠ J_{2}^{'} C J_{1} = 120^{\circ} + γ$ から $P_{1} C B \sim J_{2}^{'} C J_{1}$
同様に $P_{2} B C \sim J_{3}^{'} B J_{1}$

$∠ J_{3}^{'} B J_{1} + ∠ J_{1} P_{1} J_{3}^{'} = (120^{\circ} + β) + (60^{\circ} - β) = 180^{\circ}$
より $B, J_{1}, P_{1}, J_{3}^{'}$ は共円. $∴$ $∠ J_{3}^{'} P_{1} B = ∠ J_{3}^{'} J_{1} B = γ$
$∠ A R_{2} B = ∠ J_{3}^{'} R_{2} B = γ = ∠ J_{3}^{'} J_{1} B$ より $B, J_{1}, R_{2}, J_{3}^{'}$ は共円.よって $B, J_{1}, P_{1}, R_{2}, J_{3}^{'}$ は共円.
$∠ R_{2} J_{1} J_{3}^{'} = ∠ R_{2} P_{1} J_{3}^{'} = ∠ R_{2} P_{1} J_{1} - ∠ J_{2}^{'} P_{1} C = (180^{\circ} - ∠ R_{2} B J_{1}) - ∠ J_{1} B C = 60^{\circ}$ ,
$∠ J_{2}^{'} J_{1} J_{3}^{'} = ∠ B J_{1} C - ∠ B J_{1} J_{3}^{'} - ∠ C J_{1} J_{3}^{'} = 60^{\circ}$ より $∠ R_{2} J_{1} J_{3}^{'} = ∠ J_{2}^{'} J_{1} J_{3}^{'} = 60^{\circ}$
から $J_{1}, J_{2}^{'}, R_{2}$ は共線

$A, B, R_{1}, R_{2}$ の共円から $∠ A B J_{3}^{'} = ∠ J_{3}^{'} R_{2} R_{1} = 60^{\circ} - β$
$∠ J_{3}^{'} R_{2} J_{1} = ∠ J_{3} P_{1} J_{1} = 60^{\circ} - β$ 　から $∠ J_{3}^{'} R_{2} R_{1} = ∠ J_{3}^{'} R_{2} J_{1}$
よって $R_{2}, J_{1}, R_{1}$ は共線　　　 $J_{1}, J_{2}^{'}, R_{2}$ の共線から $R_{1}, J_{1}, J_{2}^{'}, R_{2}$ は共線
$∴$ $∠ B J_{1} R_{1} = 180^{\circ} - ∠ B J_{1} J_{2}^{'} = 120^{\circ} - γ$
$B J_{1} R_{1} \sim B J_{3} A$ から $∠ B J_{3}^{'} A = 120 - γ$
ここで, $∠ A J_{3} B = ∠ A J_{3}^{'} B = 120^{\circ} - γ, ∠ A B J_{3} = ∠ A B J_{3}^{'}$ から $J_{3} = J_{3}^{'}$
同様に $Q_{2}, J_{1}, J_{3}, Q_{1}$ は共線で, $J_{2} = J_{2}^{'}$

簡単な計算により, $J_{1} J_{2} J_{3}, J_{1} R_{1} Q_{2}, J_{2} P_{1} R_{2}, J_{3} Q_{1} P_{2}$ は正三角形であることがわかる.

$A I_{3} B \sim A C Q_{2}$ から $A I_{3} : A B = A C : A Q_{2}$ , $A I_{2} C \sim A B R_{1}$ から $A I_{2} : A C = A B : A R_{1}$
この2式から $\frac{A I_{3}}{A R_{1}} = \frac{A I_{2}}{A Q_{2}}$ を得る. $∴$ $I_{3} I_{2} ∥ R_{1} Q_{2}$ 　　　　同様に $I_{1} I_{3} ∥ P_{1} R_{2}, I_{2} I_{1} ∥ Q_{1} P_{2}$
$R_{1} Q_{2} ∥ J_{3} J_{2}, P_{1} R_{2} ∥ J_{1} J_{3}, Q_{1} P_{2} ∥ I_{2} I_{1}$ から $I_{3} I_{2} ∥ J_{3} J_{2}, I_{1} I_{3} ∥ J_{1} J_{3}, I_{2} I_{1} ∥ J_{2} J_{1}$
$J_{1} J_{2} J_{3}$ は正三角形なので $I_{1} I_{2} I_{3}$ も正三角形.よって示された.