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大学数学基礎解説
文献あり

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、ユークリッド幾何の練習問題

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「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、ユークリッド幾何の練習問題

幾何の問題は図がないと何も分からないが、生憎図を用意できないので、問題文は省略する。解きたい人は本を買うように。
本当に数学が好きなら楽しめるはずだ。解答には意図的に誤りを混ぜているので、あまり信用しないように。ちゃんと数学ができる人なら、どれが正しくどれが誤りかは比較的容易に分かるだろう。ただし、かなりハードルは高い。
ヒント。初めの問題に付いている解説は、熟読玩味すること。(舐めるように読むこと。)
最後難しいのに気持ちいい。私には無理だ。

問題4.3
相似を使う。

問題4.4
3つの平行線に交わるように円を引くと、多分2つの正三角形が得られる。

練習問題4.1
円を(極端に大小が違うように描くと作図が難しいが)2つ交わるように描き、交点$P$から2つの円に交わるように円を描く。
そして2つの交点を結ぶ。
(なんでこんな問題が含まれてるんだろう。)

練習問題4.2
円aを引き、AとBをプロットする。
AとBが直径になるように、
円bを描き、円aと円bの交点を求める。
その交点からA, Bまでの線分を延長し、円aとの交点を求める。

ちょっと難しかった。
初め円aの円周角を描けばいいのかと思った。

練習問題4.3
分からないけど、近似的に求めるなら簡単。
離れた二点を通るように平行線を引き、それと直交するように離れた二点を通る平行線を引く。そして長方形の中心を求める。
これを繰り返すと、正方形の中心が長方形の中心のどちら側にあると、長方形がより正方形に近付くか分かる。
……と思ったけど、いくら作図してもさっぱり分からなかった。4つ長方形を書いたが、分からなかった。この問題はパス。
(解けなかった。)
問題4.5
簡単すぎるので省略。

練習問題4.4

$x^p+y^q=y^r+z^p=z^q+x^r$
を満たす正の実数$x,y,z$
正の整数$p,q,r$を全て求めよ。

$p\geqq q$かつ$p\geqq r$としても一般性は失われない。
$p=q$の時
$x^p+y^p=y^r+z^p=z^p+x^r$
$x=\pm y$
$\therefore 2x^p=x^r+z^p$
または
$x^r+z^p=0$
$\therefore$pとr、xとzはどちらかがどちらかの倍数で、$x\geqq z$なら$p>r$
または、
$2x^p=x^r+z^p$
$y=2x^p-x^r-z^p$
とすると
$\begin{eqnarray} &y'&=2px^{p-1}-rx^{r-1}\\ &&=x^{r-1}(2px^{p-r}-r) \end{eqnarray} $
$y'=0$の時
$x=0,x=\sqrt[p-r]{\frac{r}{2p}}$
$y=f(x)$とすると
$f(\sqrt[p-r]{\frac{r}{2p}}) =t$
とにかく解はある。
$y=0の時$
$\begin{eqnarray}&z^p&=2x^p-x^r\\ &&=x^r(2x^{p-r}-1) \end{eqnarray}$
$\therefore 2x{p-r}-1=x^s$かつ
$x^{r+s}=z^p$
つまり、$x$$z$の倍数で、
$p$$r+s$の倍数。
$p=r$の時
$z$はxの倍数で、
$p$$q+s$の倍数。

$p>q$の時
$q>r$とする。$r>q$の時は、$x$$z$$q$$r$が入れ替わる。
$y^q(y^{q-r}-1)=z^p -x^p $
$y^{q-r}-1=\frac{z^p-x^p}{y^r} $
$\begin{eqnarray} &y^{q-r-1}&=(\frac{z}{y})^r-(\frac{x}{y})^r- (\frac{z}{y})^r+(\frac{x}{y})^r+ \frac{z^p}{y^r}-\frac{x^p}{y^r}\\ &&=(\frac{z}{y})^r*(1+z^{p-r}) -(\frac{z}{y})^r*(1+x^{p-r}) \end{eqnarray}$
$z=y$の時$x< y$または$y<1$
$z>y$の時
$z>1$
$p-r< q-r$
$\therefore p< q$
$y<0$の時、$x>z$または、
$x< y$かつ$z< y$
(自信はない)
例外として
$x=y=z$の時$p, q, r$
任意。
条件が少なすぎて絞り切れないが、これが答え。

参考文献

[1]
テレンス・タオ, 数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方, 青土社, 2022, 123
投稿日:2023513

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