「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、ユークリッド幾何の練習問題

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、ユークリッド幾何の練習問題

幾何の問題は図がないと何も分からないが、生憎図を用意できないので、問題文は省略する。解きたい人は本を買うように。
本当に数学が好きなら楽しめるはずだ。解答には意図的に誤りを混ぜているので、あまり信用しないように。ちゃんと数学ができる人なら、どれが正しくどれが誤りかは比較的容易に分かるだろう。ただし、かなりハードルは高い。
ヒント。初めの問題に付いている解説は、熟読玩味すること。（舐めるように読むこと。）
最後難しいのに気持ちいい。私には無理だ。

問題4.3
相似を使う。

問題4.4
3つの平行線に交わるように円を引くと、多分2つの正三角形が得られる。

練習問題4.1
円を（極端に大小が違うように描くと作図が難しいが）2つ交わるように描き、交点$P$から2つの円に交わるように円を描く。
そして2つの交点を結ぶ。
（なんでこんな問題が含まれてるんだろう。）

練習問題4.2
円aを引き、AとBをプロットする。
AとBが直径になるように、
円bを描き、円aと円bの交点を求める。
その交点からA, Bまでの線分を延長し、円aとの交点を求める。

ちょっと難しかった。
初め円aの円周角を描けばいいのかと思った。

練習問題4.3
分からないけど、近似的に求めるなら簡単。
離れた二点を通るように平行線を引き、それと直交するように離れた二点を通る平行線を引く。そして長方形の中心を求める。
これを繰り返すと、正方形の中心が長方形の中心のどちら側にあると、長方形がより正方形に近付くか分かる。
……と思ったけど、いくら作図してもさっぱり分からなかった。4つ長方形を書いたが、分からなかった。この問題はパス。
（解けなかった。）
問題4.5
簡単すぎるので省略。

$p\geqq q$かつ$p\geqq r$としても一般性は失われない。
$p=q$の時
$x^p+y^p=y^r+z^p=z^p+x^r$
$x=\pm y$
$\therefore 2x^p=x^r+z^p$
または
$x^r+z^p=0$
$\therefore$pとr、xとzはどちらかがどちらかの倍数で、$x\geqq z$なら$p>r$
または、
$2x^p=x^r+z^p$
$y=2x^p-x^r-z^p$
とすると
$\begin{array}{rcl}& y^{\prime }& =2p{x}^{p-1}-r{x}^{r-1}\\ & & =x^{r-1}(2p{x}^{p-r}-r)\end{array}$
$y^{\prime }=0$の時
$x=0,x=\sqrt[p-r]{\frac{r}{2p}}$
$y=f(x)$とすると
$f(\sqrt[p-r]{\frac{r}{2p}})=t$
とにかく解はある。
$y=0の時$
$\begin{array}{rcl}& z^p& =2x^p-x^r\\ & & =x^r(2x^{p-r}-1)\end{array}$
$\therefore 2xp-r-1=x^s$かつ
$x^{r+s}=z^p$
つまり、$x$は$z$の倍数で、
$p$は$r+s$の倍数。
$p=r$の時
$z$はxの倍数で、
$p$は$q+s$の倍数。

$p>q$の時
$q>r$とする。$r>q$の時は、$x$と$z$、$q$と$r$が入れ替わる。
$y^q(y^{q-r}-1)=z^p-x^p$
$y^{q-r}-1=\frac{z^p-x^p}{y^r}$
$\begin{array}{rcl}& y^{q-r-1}& =(\frac{z}{y}{)}^r-(\frac{x}{y}{)}^r-(\frac{z}{y}{)}^r+(\frac{x}{y}{)}^r+\frac{z^p}{y^r}-\frac{x^p}{y^r}\\ & & =(\frac{z}{y}{)}^r\ast (1+z^{p-r})-(\frac{z}{y}{)}^r\ast (1+x^{p-r})\end{array}$
$z=y$の時$x<y$または$y<1$
$z>y$の時
$z>1$
$p-r<q-r$
$\therefore p<q$
$y<0$の時、$x>z$または、
$x<y$かつ$z<y$
（自信はない）
例外として
$x=y=z$の時$p,q,r$は
任意。
条件が少なすぎて絞り切れないが、これが答え。
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