文献あり

【備忘録／用語集】一致の定理と零点

一致の定理と零点

以下， $D$ を $C$ 内の領域とし， $f : D \to C$ を $D$ 上の正則関数とする。

任意の $z_{0} \in D$ に対し， $z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $U$ が存在して，次の(1)または(2)が成り立つ。
そして，(2)の場合にはさらに(3)が成り立つ。

$U$ 上 $f (z) = 0$ が成り立つ。
$z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $V \subset U$ と $V$ 上の正則関数 $g : V \to C$ , および負でない整数 $k$ が存在し， $V$ 上
$f (z) = (z - z_{0})^{k} g (z), g (z_{0}) \neq 0$
が成り立つ。
$z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $W \subset V$ が存在し， $W ∖ {z_{0}}$ 上 $f (z) \neq 0$ が成り立つ。

$f$ は $z_{0}$ で正則なので， $z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $U$ が存在して， $U$ 上
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}$
と冪級数展開される。

もし， $a_{n} = 0$ $(n = 0, 1, 2, \dots)$ だとすると， $f$ は $U$ 上で恒等的に $0$ となる。
（つまり，(1)が成り立つ。）

さもなければ，ある番号 $n$ が存在して $a_{n} \neq 0$ となる。

このような $n$ の最小値を $k$ と置く。

勝手に選んだ $z_{1} \in U ∖ {z_{0}}$ について，級数
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z_{1} - z_{0})^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n + k} (z_{1} - z_{0})^{n + k}$
は収束するので，級数
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n + k} (z_{1} - z_{0})^{n} = (z_{1} - z_{0})^{- k} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n + k} (z_{1} - z_{0})^{n + k}$
もまた収束する。

したがって，冪級数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n + k} (z - z_{0})^{n}$ は開円盤 $| z - z_{0} | < r$ 上で収束する。
（ただし， $r > 0$ は $r < | z_{1} - z_{0} |$ を満たしていれば何でもよい。付録の命題を参照せよ。）

$g (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n + k} (z - z_{0})^{n}$ と置くと， $U$ と開円盤 $| z - z_{0} | < r$ との共通部分 $V$ 上で
$f (z) = (z - z_{0})^{k} g (z), g (z_{0}) = a_{k} \neq 0$ が成り立つ。
（つまり，(2)が成り立つ。）

$g (z)$ は $z = z_{0}$ で $a_{k} \neq 0$ という値を取るので，その連続性から， $z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $W \subset V$ においては常に $0$ でない値を取る。

したがって， $W ∖ {z_{0}}$ 上
$f (z) = (z - z_{0})^{k} g (z) \neq 0$
である。
（つまり，(3)が成り立つ。）

（一致の定理）

$z_{0} \in D$ のある近傍で $f$ が恒等的に $0$ であるならば， $f$ は $D$ でも恒等的に $0$ である。

$E = {z \in D ∣ z のある近傍で f は恒等的に 0}$ と置く。

$z_{0} \in E$ より $E \neq \emptyset$ である。

$z \in E$ とすると， $z$ を含むような $D$ のある開集合 $U$ が存在して， $f$ は $U$ 上恒等的に $0$ となる。

$w \in U$ とする。

このとき， $U$ は $w$ の近傍であり， $f$ は $U$ 上恒等的に $0$ なので， $w \in E$ である。

つまり， $U \subset E$ である。

これは $E$ が $D$ の開集合であるということに他ならない。

次に， $z \in \overset{―}{E}$ とする。

このとき， $z$ を含むような $D$ のある開集合 $U$ が存在して $U$ 上 $f (ζ) = 0$ となるか，さもなければ $z$ を含むような $D$ のある開集合 $W$ が存在して $W ∖ {z}$ 上 $f (ζ) \neq 0$ となる。

前者であれば， $z \in E$ である。

後者であれば， $z \in \overset{―}{E}$ より $W \cap E \neq \emptyset$ である。

$ζ \in W \cap E$ とすると， $ζ \in E$ より $f (ζ) = 0$ であるが，一方， $ζ \in W$ より $ζ = z$ である。

したがって， $z \in E$ である。

これは $E$ が $D$ の閉集合であるということに他ならない。

領域 $D$ は連結なので， $D$ の開かつ閉であるような部分集合は空集合でなければ $D$ に等しい。

したがって， $E = D$ であり， $f$ が $D$ 上恒等的に $0$ であることが示された。

$f \neq 0$ とする。

このとき， $z_{0} \in D$ についての以下の条件は同値である。

$f (z_{0}) = 0$
$z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $U$ と $U$ 上の正則関数 $g : U \to C$ , および正の整数 $k$ が存在し， $U$ 上
$f (z) = (z - z_{0})^{k} g (z), g (z_{0}) \neq 0$
が成り立つ。

$f (z_{0}) = 0$ とする。

このとき， $z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $V$ が存在し， $V$ 上 $f (z) = 0$ となるか，さもなければ $z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $U$ と $U$ 上の正則関数 $g : U \to C$ , および負でない整数 $k$ が存在し， $U$ 上
$f (z) = (z - z_{0})^{k} g (z), g (z_{0}) \neq 0$
が成り立つ。

前者の場合，一致の定理により $f = 0$ となってしまう。

したがって，成り立つのは後者であるが，このとき， $f (z_{0}) = 0$ より $k \geq 1$ である。

これが示すべきことであった。（逆は明らかである。）

（零点とその位数）

前命題の同値な条件が満たされるとき， $z_{0}$ は $f$ の零点であるという。
（条件の中に現れる正の整数 $k$ を零点の位数という。）

零点の位数は $f$ の表示の仕方に依らない。

以下，そのことを確かめる。

$z_{0}$ のある近傍 $U$ において，
$(z - z_{0})^{k} g (z) = (z - z_{0})^{l} h (z)$
が成り立つとする。

ここで $g$ , $h$ は $U$ 上の正則関数であり， $g (z_{0}) \neq 0$ かつ $h (z_{0}) \neq 0$ , また $k$ , $l$ は正の整数である。

必要であれば $U$ を小さく取り替えることにより，すべての $z \in U$ に対して $g (z) \neq 0$ かつ $h (z) \neq 0$ が成り立つとしてよい。（ $g$ , $h$ の連続性）

このとき， $U ∖ {z_{0}}$ 上
$(z - z_{0})^{k - l} \frac{g (z)}{h (z)} = 1$
が成り立つ。

もし， $k > l$ であるならば，この等式の左辺は $z \to z_{0}$ のとき $0$ に収束することになってしまう。

同様にして $k < l$ もあり得ないので，結局， $k = l$ である。

$f \neq 0$ の零点全体の集合 $E$ は $D$ 内に集積点を持たない。

仮に， $E$ が $D$ 内に集積点 $z_{0}$ を持ったとする。

このとき， $z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $U$ が存在し， $U$ 上 $f (z) = 0$ となるか，さもなければ $z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $V \subset U$ が存在して， $V ∖ {z_{0}}$ 上 $f (z) \neq 0$ となる。

前者の場合，一致の定理により $f = 0$ となってしまい矛盾する。

後者の場合， $z_{0}$ が $E$ の集積点であることから $(V ∖ {z_{0}}) \cap E \neq \emptyset$ となる。

しかし， $z \in (V ∖ {z_{0}}) \cap E$ とすると $f (z) \neq 0$ かつ $f (z) = 0$ となり矛盾する。

次の形の命題を一致の定理と呼ぶことも多い。

（一致の定理）

$D$ 内に集積点を持つような部分集合 $E \subset D$ を考える。
もし， $f$ が $E$ で恒等的に $0$ ならば， $f$ は $D$ でも恒等的に $0$ である。

$f \neq 0$ ならば， $f$ の零点全体の集合 $E^{'}$ は $D$ 内に集積点を持たない。

しかし， $E \subset E^{'}$ の $D$ 内の集積点は，そのまま $E^{'}$ の $D$ 内の集積点になってしまうので， $f = 0$ でなければならない。

付録

冪級数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}$ がある $z_{1} \neq z_{0}$ で収束したとすると，それは任意の $0 \leq r < | z_{1} - z_{0} |$ に対し，閉円盤 $| z - z_{0} | \leq r$ 上絶対かつ一様に収束する。