【備忘録／用語集】一致の定理と零点

$f$は$z_0$で正則なので，$z_0$を含むような$D$のある開集合$U$が存在して，$U$上
$$ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n$$
と冪級数展開される。

もし，$a_n = 0$ $(n = 0, 1, 2, \ldots)$だとすると，$f$は$U$上で恒等的に$0$となる。
（つまり，(1)が成り立つ。）

さもなければ，ある番号$n$が存在して$a_n \neq 0$となる。

このような$n$の最小値を$k$と置く。

勝手に選んだ$z_1 \in U \setminus \{z_0\}$について，級数
$$ \sum_{n=0}^\infty a_n (z_1 - z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty a_{n+k} (z_1 - z_0)^{n+k} $$
は収束するので，級数
$$ \sum_{n=0}^\infty a_{n+k} (z_1 - z_0)^n = (z_1 - z_0)^{-k} \sum_{n=0}^\infty a_{n+k} (z_1 - z_0)^{n+k} $$
もまた収束する。

したがって，冪級数$\sum_{n=0}^\infty a_{n+k} (z - z_0)^n$は開円盤$|z - z_0| < r$上で収束する。
（ただし，$r > 0$は$r < |z_1 - z_0|$を満たしていれば何でもよい。付録の命題を参照せよ。）

$g(z) = \sum_{n=0}^\infty a_{n+k} (z - z_0)^n$と置くと，$U$と開円盤$|z - z_0| < r$との共通部分$V$上で
$$ f(z) = (z - z_0)^k g(z) \text{, } g(z_0) = a_k \neq 0$$が成り立つ。
（つまり，(2)が成り立つ。）

$g(z)$は$z = z_0$で$a_k \neq 0$という値を取るので，その連続性から，$z_0$を含むような$D$のある開集合$W \subset V$においては常に$0$でない値を取る。

したがって，$W \setminus \{z_0\}$上
$$ f(z) = (z - z_0)^k g(z) \neq 0$$
である。
（つまり，(3)が成り立つ。）

$E = \{ z \in D \mid \text{$z$のある近傍で$f$は恒等的に$0$} \}$と置く。

$z_0 \in E$より$E \neq \emptyset$である。

$z \in E$とすると，$z$を含むような$D$のある開集合$U$が存在して，$f$は$U$上恒等的に$0$となる。

$w \in U$とする。

このとき，$U$は$w$の近傍であり，$f$は$U$上恒等的に$0$なので，$w \in E$である。

つまり，$U \subset E$である。

これは$E$が$D$の開集合であるということに他ならない。

次に，$z \in \overline{E}$とする。

このとき，$z$を含むような$D$のある開集合$U$が存在して$U$上$f(\zeta) = 0$となるか，さもなければ$z$を含むような$D$のある開集合$W$が存在して$W \setminus \{z\}$上$f(\zeta) \neq 0$となる。

前者であれば，$z \in E$である。

後者であれば，$z \in \overline{E}$より$W \cap E \neq \emptyset$である。

$\zeta \in W \cap E$とすると，$\zeta \in E$より$f(\zeta) = 0$であるが，一方，$\zeta \in W$より$\zeta = z$である。

したがって，$z \in E$である。

これは$E$が$D$の閉集合であるということに他ならない。

領域$D$は連結なので，$D$の開かつ閉であるような部分集合は空集合でなければ$D$に等しい。

したがって，$E = D$であり，$f$が$D$上恒等的に$0$であることが示された。

$f(z_0) = 0$とする。

このとき，$z_0$を含むような$D$のある開集合$V$が存在し，$V$上$f(z)=0$となるか，さもなければ$z_0$を含むような$D$のある開集合$U$と$U$上の正則関数$g \colon U \to \mathbb{C}$, および負でない整数$k$が存在し，$U$上
$$ f(z) = (z - z_0)^k g(z) \text{, } g(z_0) \neq 0$$
が成り立つ。

前者の場合，一致の定理により$f = 0$となってしまう。

したがって，成り立つのは後者であるが，このとき，$f(z_0) = 0$より$k \geq 1$である。

これが示すべきことであった。（逆は明らかである。）

仮に，$E$が$D$内に集積点$z_0$を持ったとする。

このとき，$z_0$を含むような$D$のある開集合$U$が存在し，$U$上$f(z) = 0$となるか，さもなければ$z_0$を含むような$D$のある開集合$V \subset U$が存在して，$V \setminus \{z_0\}$上$f(z) \neq 0$となる。

前者の場合，一致の定理により$f = 0$となってしまい矛盾する。

後者の場合，$z_0$が$E$の集積点であることから$(V \setminus \{z_0\}) \cap E \neq \emptyset$となる。

しかし，$z \in (V \setminus \{z_0\}) \cap E$とすると$f(z) \neq 0$かつ$f(z)=0$となり矛盾する。

$f \neq 0$ならば，$f$の零点全体の集合$E'$は$D$内に集積点を持たない。

しかし，$E \subset E'$の$D$内の集積点は，そのまま$E'$の$D$内の集積点になってしまうので，$f = 0$でなければならない。