超微分　アイデア(没)

授業中とかに超微分を使ったアイデアを思いつきますが、なかなかうまくいかないので放流。

超微分でバーゼル問題

$f(x) = \sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$とすると、これは$x=\dfrac{1}{n^2\pi^2}\quad (n\in \mathbb{N})$を根に持ちます。
これの超微分は、
$$f^{`}(x) = \dfrac{xf'(x)}{f(x)} = -\dfrac{1}{2\sqrt{x}\tan\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}$$
これを漸近展開すると、
$$f^{`}(x) = -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6x}+\dfrac{1}{90x^2}+\dfrac{1}{945x^3}+\dfrac{1}{9450x^4}+\dfrac{1}{93555x^5}+\cdots$$
超微分の小ネタ より、
\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^2\pi^2} &=& \dfrac{1}{6}\\ \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^4\pi^4} &=& \dfrac{1}{90}\\ \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^6\pi^6} &=& \dfrac{1}{945}\\ \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^8\pi^8} &=& \dfrac{1}{9450}\\ \vdots \end{eqnarray}

ここがダメ！

厳密性の欠片もない

まず超越関数で出来る保証がない。負の冪に対する拡張すら間に合ってない。

定数の$-\dfrac{1}{2}$が意味不明

これは何...?

理論が出来たとしても相手の関数がもれなくやばい

例えば今回の様に無限個の根を持ち、かつ解の和が収束する関数というのは、原点近くに根が密集するやばめの関数です。というか、$f(x)=0$を満たす$x$の測度が$0$より大きかったらどうなるんだ...。

まずは次数が無限でも超微分の小ネタが成り立つかどうかは、確かめてみる価値がありそう。

超$\text{Newton-Raphson}$法

この差分のところを$\dfrac{1}{f^{`}(x)}$に変えてみたり、色々してみたりしましたが収束性能を上げることはできませんでした。

超微分でオーダー探査

超微分は多項式オーダーの関数を調べる際に有用ですが、指数対数オーダーだと正確に調べることはできません。しかし、関数そのものを指数、対数でシフトすれば求められるのでは、と思って試行錯誤していますがまとまった手法を編み出せてないのが現状です。

いかがでしたか？

内容がとにかく薄いので記事として出そうかどうかも迷いましたが、とりあえず出してみることにしました。また進展ありましたら追記します。