超微分の小ネタ、(モニックな、実係数)n次関数の超微分と解のm乗和

はじめに

超微分については 7777777氏 の「 超微分 」という概念を前提にしてしてはいますが、その本質を突く記事というわけではないので、その定義と幾許かの定理・公式等が分かれば大丈夫だと思われます。

調べてみたところ、 先行研究 がありました。

本題

モニックな$n$次関数
$f(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n(a_i\in \mathbb{R})$
を考え、$f(x)=0$の解を${\alpha }_1,{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n$と置きます。
ここで、$f(x)$の超微分可能性を明確にしておきます。
ラグ / Lagu氏 の「 超微分で微分っぽいことをする 」より、
$f(a)>0,a\ne 0$のとき、$f$が$a$で微分可能であることと、$f$が$a$で超微分可能であることは同値です。
よって、$f(x)=0$のどの実数解より大きい正の実数$x$に対して$f(x)$は超微分可能であることになります。
しかしながら$n$次方程式の「実数解」のままだと若干扱いづらいので、すこし前提が強くなりますが、
$i=1,2\cdots ,n$に対して、$|{}^{\mathrm{\forall }}{\alpha }_i|<x$を満たす$x$の範囲で考えます。勿論この範囲で$f(x)$は超微分可能です。
実際に超微分してみましょう。
$$\begin{array}{rcl}{f}^{‘}(x)={\displaystyle \frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}}& =& x(\log f(x){)}^{\prime }=x{(\sum _{i=1}^n\log |x-{\alpha }_i|)}^{\prime }\\ & =& \sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{x}{x-{\alpha }_i}}=\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{{\alpha }_i}{x}}}}\end{array}$$
ところで、$\left|{\displaystyle \frac{{\alpha }_i}{x}}\right|<1$のとき、
無限級数${\displaystyle \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{{\alpha }_i}{x}}\right)}^m}$は${\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{{\alpha }_i}{x}}}}$に絶対収束します。今考えている$x$の範囲は、$\left|{\displaystyle \frac{{\alpha }_i}{x}}\right|<1$を常に満たします。絶対収束性から、
$$\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{{\alpha }_i}{x}}}}=\sum _{i=1}^n\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{{\alpha }_i}{x}}\right)}^m=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^m}{x^m}}$$
となるので、解の$m$乗和を$s_m$と置くと、
$$f^{‘}(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{s_m}{x^m}}$$
と表せることになります。
(これ、母関数っぽいですけど母関数じゃないですね、何と呼ぶんでしょうね、これ。)

終わりに

ミスや間違いなどあれば指摘の方をよろしくお願いします。