超微分の定義と定理

微分,超微分

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はじめに

前回、超微分の定義について軽く触れましたが、今回はそれをより詳しく定義し、付随する定理、公式も証明しようと思います。

定義

超微分係数

$f (x)$ は、任意の $x$ において $f (x) > 0$ を満たすものとする。
この時、
$lim_{h \to 1} \log_{h} \frac{f (h a)}{f (a)}$
を $a$ における $f (x)$ の超微分係数といい、 $f^{‘} (a)$ で表す。

いきなり前回と違う話から始めるので少し困惑された方もいるかもしれません。
しかし、微分を習った時のことを考えると、微分係数から習ったと思いませんか。教科書
ということで微分係数の発展版の、超微分係数の定義から始めることとします。
それを踏まえたうえで、前回と異なるところは、初めの1文ですね。
これは、 $\frac{f (h a)}{f (a)}$ が常に正になるようにするために設けました。
「それなら、任意の $x$ において $f (x) < 0$ もいいのでは?」と思われる方も少なからずいると思いますが、その点に関しては後の回でお話しするのでお待ちください。

狭義超微分可能

$f^{‘} (a)$ が存在するとき、 $f (x)$ は $a$ で狭義超微分可能であるという。

超導関数

$f (x)$ は、任意の $x$ において $f (x) > 0$ を満たすものとする。
この時、
$lim_{h \to 1} \log_{h} \frac{f (h x)}{f (x)}$
を $f (x)$ の超導関数といい、 $f^{‘} (x)$ で表す。

ここまでは微分の定義と同様の流れになっています。
これ以上説明することはないと思うので次に進みます。

超微分に関する定理

$f (x)$ は超微分可能とする。 $x \neq 0$ の時、
$f^{‘} (x) = lim_{Δ x \to 0} \log_{\frac{x + Δ x}{x}} \frac{f (x + Δ x)}{f (x)}$

$h = \frac{x + Δ x}{x}$ とおくと、 $Δ x \to 0$ の時、 $h \to 1$
$lim_{Δ x \to 0} \log_{\frac{x + Δ x}{x}} \frac{f (x + Δ x)}{f (x)} = lim_{h \to 1} \log_{h} \frac{f (h x)}{f (x)} = f^{‘} (x)$

この定理は、見ての通り、 $h x$ を $x + Δ x$ としても超微分という操作になるという証明です。指数関数等を扱うときは便利になってくると思います。

超導関数の変換公式

$f (x)$ が微分可能かつ狭義超微分可能であるとする。
この時、
$f^{‘} (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)}$

$\begin{aligned} f^{‘} (x) & = lim_{h \to 1} \log_{h} \frac{f (h x)}{f (x)} \\ = lim_{h \to 1} \frac{\log f (h x) - \log f (x)}{\log h} \\ = lim_{h \to 1} \frac{\frac{x f^{'} (h x)}{f (h x)}}{\frac{1}{h}} & (∵ L^{'} h o p i t a l の定理) \\ = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \end{aligned}$

一番の問題となってくるこの定理にやってきました。
この定理が成り立つことを証明するには、L'hopitalの定理が使えるかどうかの条件を考えなくてはいけません。
その条件とは、

$lim_{x \to c} f (x) = lim_{x \to c} g (x) = 0$ または $lim_{x \to c} f (x) = lim_{x \to c} g (x) = \pm \infty$
$lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ が極値を持つ
$c$ の十分近くにおいて $g^{'} (x) \neq 0$

です。教科書 L'hopital
今回の場合、

$lim_{h \to 1} {\log f (h x) - \log f (x)} = lim_{h \to 1} \log h = 0$
$lim_{h \to 1} \frac{{\log f (h x) - \log f (x)}^{'}}{(\log h)^{'}} = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)}$ (ただし $f (x)$ が微分可能な場合チャート)
$h = 1$ の十分近くにおいて $\frac{1}{h} \neq 0$

より、成立することがわかります。

狭義超微分可能 $\Leftrightarrow$ 微分可能ではありません。以下に反例を上げておきます。
微分可能 $\Rightarrow$ 狭義超微分可能でない例: $y = x$
狭義超微分可能 $\Rightarrow$ 微分可能でない例： $y = | x | + 1$

x^{n}, e^{f (x)}

の超導関数

$(x^{n})^{‘} = n (x^{n} > 0)$
$f (x)$ を微分可能とする。
${e^{f (x)}}^{‘} = x f^{'} (x) = f (x) f^{‘} (x)$

$(x^{n})^{‘} = \frac{x \cdot n x^{n - 1}}{x^{n}} = n$
$\begin{aligned} {e^{f (x)}}^{‘} & = \frac{x \cdot f^{'} (x) e^{f (x)}}{e^{f (x)}} = x f^{'} (x) = f (x) f^{‘} (x) \end{aligned}$

1.は、最も基本的な関数であるため、初めに扱いました。また、この後の考察で重要になってきます。
2.は定理4の証明で使う他、指数関数やテトレーションの超微分でも重要となってきます。

積、冪に関する公式

$f (x), g (x)$ は狭義超微分可能とする。また、2.において $g (x)$ は微分可能とする。

${f (x) g (x)}^{‘} = f^{‘} (x) + g^{‘} (x)$
$[{f (x)}^{g (x)}]^{‘} = f^{‘} (x) g (x) + x \log f (x) g^{'} (x) = f^{‘} (x) g (x) + \log f (x) g (x) g^{‘} (x)$

$\begin{aligned} {f (x) g (x)}^{‘} & = lim_{h \to 1} \log_{h} \frac{f (h x) g (h x)}{f (x) g (x)} \\ = lim_{h \to 1} {\log_{h} \frac{f (h x)}{f (x)} + \log_{h} \frac{g (h x)}{g (x)}} \\ = f^{‘} (x) + g^{‘} (x) \end{aligned}$
$\begin{aligned} [{f (x)}^{g (x)}]^{‘} & = lim_{h \to 1} \log_{h} \frac{{f (h x)}^{g (h x)}}{f (x)^{g (x)}} \\ = lim_{h \to 1} \frac{\log f (h x)^{g (h x)} - \log f (x)^{g (x)}}{\log h} \\ = lim_{h \to 1} \frac{g (h x) \log f (h x) - g (x) \log f (x)}{\log h} \\ = lim_{h \to 1} \frac{g (h x) \log f (h x) - g (h x) \log f (x) + g (h x) \log f (x) - g (x) \log f (x)}{\log h} \\ = lim_{h \to 1} {\frac{g (h x) \log f (h x) - g (h x) \log f (x)}{\log h} + \frac{g (h x) \log f (x) - g (x) \log f (x)}{\log h}} \\ = lim_{h \to 1} {\frac{\log f (h x) - \log f (x)}{\log h} g (h x) + \log f (x) \frac{g (h x) - g (x)}{\log h}} \\ = f^{‘} (x) g (x) + \log f (x) {e^{g (x)}}^{‘} \end{aligned}$
定理3.2.より定理4.2.は成立する。

この定理は、和、積の微分の公式に対応するものです。積の超微分の公式はただの和ですが、冪の超微分の公式は少し形が複雑です。
また、冪の指数部分にある関数は微分可能という条件も付いています。

合成関数の超微分

$f (x), g (x)$ は狭義超微分可能とする。
${f (g (x))}^{‘} = f^{‘} (g (x)) g^{‘} (x)$

$\begin{aligned} {f (g (x))}^{‘} & = lim_{h \to 1} \log_{h} \frac{f (g (h x))}{f (g (x))} \\ = lim_{h \to 1} \frac{\log f (g (h x)) - \log f (g (x))}{\log h} \end{aligned}$
ここで、 $g (x) = y, g (h x) = h_{2} y$ と書ける。

$h$ が $1$ に限りなく近いとき、 $h_{2} = 1$ となるとき
${f (g (x))}^{‘} = lim_{h \to 1} \frac{\log f (y) - \log f (y)}{\log h} = 0$
$g^{‘} (x) = 0 (∵ g (x) = t (t \in N))$
より、 ${f (g (x))}^{‘} = f^{‘} (g (x)) g^{‘} (x)$
$h$ が $1$ に限りなく近いとき、 $h_{2} \neq 1 \land h_{2} \to 1$ のとき
$\begin{aligned} {f (g (x))}^{‘} & = lim_{h \to 1} \frac{\log f (g (h x)) - \log f (g (x))}{\log g (h x) - \log g (x)} \frac{\log g (h x) - \log g (x)}{\log h} \\ = lim_{h \to 1, h_{2} \to 1} \frac{\log f (h_{2} y) - \log f (y)}{\log h_{2}} \frac{\log g (h x) - \log g (x)}{\log h} \\ = f^{‘} (y) g^{‘} (x) \\ = f^{‘} (g (x)) g^{‘} (x) \end{aligned}$
より成立