微分を拡張したい
背景
話は高2の頃の自分に始まります。
その頃の自分は巨大数に足の指先を触れただけくらいの頃でした。
チェーン表記くらいまでは触っていた気がします。
そして、高2で初めて習う重要な概念が、微分。
そこで思いついてしまったんです。これ、巨大数の知識を使って拡張できるな、と。
拡張
さて、その時の自分がどのようにしたのか、というとハイパー演算hyperレベルを上げるように拡張したのです。
具体的に言うと下のように。
$$\lim_{h\to1}\log_{\frac{hx}{x}}\frac{f(hx)}{f(x)}$$
この操作を超微分ということとします。
そして、微分を$f'(x)$で表したように、超微分にも記号を与えよう、ということで以下のような記号を定義しました。
$$f^`(x)=\lim_{h\to1}\log_{\frac{hx}{x}}\frac{f(hx)}{f(x)}$$
さて、ここで友人I君の協力により、次のように変形ができることがわかりました。
$$f^`(x)=\frac{xf'(x)}{f(x)}$$
$$\begin{aligned} f^`(x)&=\lim_{h\to1}\log_{\frac{hx}{x}}\frac{f(hx)}{f(x)}\\ &=\lim_{h\to1}\frac{\log f(hx)-\log f(x)}{\log h}\\ &=\lim_{h\to1}\frac{\frac{xf'(hx)}{f(hx)}}{\frac1h}(\because \rm{L'hopitalの定理})\\ &=\frac{xf'(x)}{f(x)} \end{aligned}$$
ここまでの議論において厳密性を少し欠いてはいます。
例えば、定義1で$f(x)$を分母に持ってきているけど、$f(x)=0$の時はどうなるんだ、とか本当にL'hopitalの定理は使えるのか、という部分です。しかし、今回はこの部分は本題ではないのでいったんスルーをさせてもらいます。
おわりに?
さて、ここまでで超微分を定義することができました。
しかし、ここで終わりではありません。
少し考えてみると分かることですが、$f(x)=n^x$の逆関数は$f^{-1}(x)=\log_nx$、$f(x)=x^n$の逆関数は$f^{-1}(x)=x^\frac1n$と異なります。
ということは、割り算のハイパー演算レベルを一つ上げた演算は二つあるのです。
拡張2
では、別ルートの拡張はどのように定義すればいいでしょうか。
$$\lim_{h\to1}\left(\frac{f(hx)}{f(x)}\right)^{\frac1{\frac{hx}x}}$$
加法を乗法、乗法を累乗にし、極限の行先を加法単位元$0$から乗法単位元$1$にすると、このようになります。
しかし、これを計算すると、基本的に$1$に収束します。
ということは、この操作にはあまり意味がないと考えてもいいでしょう。
拡張2に関連して
さて、話を自分の高校時代に戻します。
年が進んで高3の頃。
友人のI君とN君が「絡分絡分絡分2」という操作について話をしていました。詳しいことは参考文献から見てほしいのですが、定義は以下に書いておきます。
$$p^{\int^a_b\log_pf(x)dx}$$
これは積分の拡張ですが、この逆操作が「解分絡分2」という操作です。
$$p^{\frac{d}{dx}\log_pf(x)}$$
そして、この操作は以下のようにも変形できます乗法的。
$$p^{\frac{d}{dx}\log_pf(x)}=\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^{\frac1h}$$
定義3との違いは、極限の行先が$0$であることと、$f(hx)$のところが$f(x+h)$になっているところです。
しかし、積分の拡張の逆操作ということで、微分の拡張の一つであることは間違いないはずです。
ネタばらし
さて、ここまで上から目線で話をしてきましたが、実際の学術分野として乗法的微積分学という分野が存在します。
その中では、絡分を乗法的積分、解分を乗法的微分という名前で扱っています。
つまり、きちんと体系化された分野であった、ということです。
しかし、超微分と定義した操作に関する文献等は見当たりませんでした。
おわりに
微分の拡張をしていったら、片方の拡張はきちんと体系化された分野に行きつきました。初めに思い付いた拡張は全く文献等が見当たらなかったため、探求をしていきたいなと思います。
おまけ話
この記事を書くまで、自分は超微分と解分と乗法的微分は同じものだと思っていました。
というのも、相談した方も当然初めて見る操作なので、超微分の逆操作が絡分と勘違いしてしまったのです。
もちろん僕が相談した方に非は全くありません。
自分の探求している内容は、自分でちゃんと確認をしよう、という勉強になりました。