文献あり

微分を拡張したい

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

背景

話は高2の頃の自分に始まります。
その頃の自分は巨大数に足の指先を触れただけくらいの頃でした。
チェーン表記くらいまでは触っていた気がします。
そして、高2で初めて習う重要な概念が、微分。
そこで思いついてしまったんです。これ、巨大数の知識を使って拡張できるな、と。

拡張

さて、その時の自分がどのようにしたのか、というとハイパー演算hyperレベルを上げるように拡張したのです。
具体的に言うと下のように。

超微分

$lim_{h \to 1} \log_{\frac{h x}{x}} \frac{f (h x)}{f (x)}$

この操作を超微分ということとします。
そして、微分を $f^{'} (x)$ で表したように、超微分にも記号を与えよう、ということで以下のような記号を定義しました。

超微分記号

$f^{‘} (x) = lim_{h \to 1} \log_{\frac{h x}{x}} \frac{f (h x)}{f (x)}$

さて、ここで友人I君の協力により、次のように変形ができることがわかりました。

超微分の公式

$f^{‘} (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)}$

$\begin{aligned} f^{‘} (x) & = lim_{h \to 1} \log_{\frac{h x}{x}} \frac{f (h x)}{f (x)} \\ = lim_{h \to 1} \frac{\log f (h x) - \log f (x)}{\log h} \\ = lim_{h \to 1} \frac{\frac{x f^{'} (h x)}{f (h x)}}{\frac{1}{h}} (∵ L^{'} h o p i t a l の定理) \\ = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \end{aligned}$

ここまでの議論において厳密性を少し欠いてはいます。
例えば、定義1で $f (x)$ を分母に持ってきているけど、 $f (x) = 0$ の時はどうなるんだ、とか本当にL'hopitalの定理は使えるのか、という部分です。しかし、今回はこの部分は本題ではないのでいったんスルーをさせてもらいます。

おわりに?

さて、ここまでで超微分を定義することができました。
しかし、ここで終わりではありません。
少し考えてみると分かることですが、 $f (x) = n^{x}$ の逆関数は $f^{- 1} (x) = \log_{n} x$ 、 $f (x) = x^{n}$ の逆関数は $f^{- 1} (x) = x^{\frac{1}{n}}$ と異なります。
ということは、割り算のハイパー演算レベルを一つ上げた演算は二つあるのです。

拡張2

では、別ルートの拡張はどのように定義すればいいでしょうか。

$lim_{h \to 1} {(\frac{f (h x)}{f (x)})}^{\frac{1}{\frac{h x}{x}}}$

加法を乗法、乗法を累乗にし、極限の行先を加法単位元 $0$ から乗法単位元 $1$ にすると、このようになります。
しかし、これを計算すると、基本的に $1$ に収束します。
ということは、この操作にはあまり意味がないと考えてもいいでしょう。

拡張2に関連して

さて、話を自分の高校時代に戻します。
年が進んで高3の頃。
友人のI君とN君が「絡分絡分絡分2」という操作について話をしていました。詳しいことは参考文献から見てほしいのですが、定義は以下に書いておきます。

絡分

$p^{\int_{b}^{a} \log_{p} f (x) d x}$

これは積分の拡張ですが、この逆操作が「解分絡分2」という操作です。

解分

$p^{\frac{d}{d x} \log_{p} f (x)}$

そして、この操作は以下のようにも変形できます乗法的。

解分の公式

$p^{\frac{d}{d x} \log_{p} f (x)} = lim_{h \to 0} {(\frac{f (x + h)}{f (x)})}^{\frac{1}{h}}$

定義3との違いは、極限の行先が $0$ であることと、 $f (h x)$ のところが $f (x + h)$ になっているところです。
しかし、積分の拡張の逆操作ということで、微分の拡張の一つであることは間違いないはずです。

ネタばらし

さて、ここまで上から目線で話をしてきましたが、実際の学術分野として乗法的微積分学という分野が存在します。
その中では、絡分を乗法的積分、解分を乗法的微分という名前で扱っています。
つまり、きちんと体系化された分野であった、ということです。
しかし、超微分と定義した操作に関する文献等は見当たりませんでした。

おわりに

微分の拡張をしていったら、片方の拡張はきちんと体系化された分野に行きつきました。初めに思い付いた拡張は全く文献等が見当たらなかったため、探求をしていきたいなと思います。

おまけ話

この記事を書くまで、自分は超微分と解分と乗法的微分は同じものだと思っていました。
というのも、相談した方も当然初めて見る操作なので、超微分の逆操作が絡分と勘違いしてしまったのです。
もちろん僕が相談した方に非は全くありません。
自分の探求している内容は、自分でちゃんと確認をしよう、という勉強になりました。