高校数学解説

絡分 (連続な総乗)【絡分1】

総乗,積分,総和

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こんにちは、Nappleです。

総和と積分が離散と連続の関係であることはよく議論され、応用される話題です。（厳密なことは知りません）
そこで、総乗に対応する連続な変換を考えてみます。

前提知識

まず前提知識から

区分求積法

式自体は使いませんが、とにかく積分と総和は似ているという話です。
$$ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i) $$

総和と総乗の関係

$x_i>0 (i=0,1,2,...)$に対して、任意の1でない正の実数$p$を用いて総和と総乗の関係は以下のように表せる。
$$ \prod_{i=0}^{n}x_i = p^{\Large{\sum_{i=0}^{n}\log_p{x_i}}} $$

本題

上記の公式をもとに、総乗に対応する連続な変換を考えます。
もう無理やり置き換えるだけですね。
公式2の総和のとこ
$$ \prod_{i=0}^{n}x_i = p^{\Large{\textcolor{red}{\sum_{i=0}^{n}}\log_p{x_i}}} $$
を、積分に置き換えて
$$ \prod_{i=0}^{n}f(x) \sim p^{\Large{\textcolor{red}{\int_{a}^{b}}\log_p{f(x)}\textcolor{red}{dx}}} $$
こうなります。

絡分(仮名)

総乗に対応する連続な変換である絡分とは、
実数関数$f(x)$に対して次の関数$\mathcal{F}(x)$を得る変換である。ここで絡分の底$p$は任意の1でない正の実数とする。
$$ \mathcal{F}(x) = p^{\Large{\int_{a}^{b}\log_p{f(x)}dx}} $$

計算例

ここでは$f(x)$の原始関数の一つを得るために、積分範囲を$0$から$x$にしておきます。

$f(x)=a$(定数)の絡分

絡分の底は$e$とします。(が、$\mathcal{F}(x)$は底によらず一定です。)
まず、
$$\int_{0}^{x}\log{f(t)}dt=\int_{0}^{x}\log{a}dt=\log{a}\cdot{}x$$
なので、
$$\mathcal{F}(x) = e^{\Large{\log{a}\cdot{}x}} = a^x$$
!FORMULA[18][-623484758][0] $f(x)=2, \mathcal{F}(x) = 2^x$

$f(x)=x$の絡分

絡分の底は$e$とします。
まず、
$$\int_{0}^{x}\log{f(t)}dt=x\log{x}−x$$
なので、
$$\mathcal{F}(x) = e^{\Large{x\log{x}−x}} = (\frac{x}{e})^x$$
!FORMULA[23][343604002][0] $f(x)=x, \mathcal{F}(x) = (\frac{x}{e})^x$

$f(x)=e^x$の絡分

絡分の底は$e$とします。
まず、
$$\int_{0}^{x}\log{f(t)}dt=\int_{0}^{x}tdt=\frac{1}{2}x^2$$
なので、
$$\mathcal{F}(x) = e^{\frac{1}{2}x^2}$$
!FORMULA[28][-2013497049][0] $f(x)=e^x, \mathcal{F}(x) = e^{\frac{1}{2}x^2}$