高校数学解説

絡分 (連続な総乗)【絡分1】

総乗,積分,総和

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こんにちは、Nappleです。

総和と積分が離散と連続の関係であることはよく議論され、応用される話題です。（厳密なことは知りません）
そこで、総乗に対応する連続な変換を考えてみます。

前提知識

まず前提知識から

区分求積法

式自体は使いませんが、とにかく積分と総和は似ているという話です。
$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{i = 0}^{n} f (a + \frac{b - a}{n} i)$

総和と総乗の関係

$x_{i} > 0 (i = 0, 1, 2, . . .)$ に対して、任意の1でない正の実数 $p$ を用いて総和と総乗の関係は以下のように表せる。
$\prod_{i = 0}^{n} x_{i} = p^{\sum_{i = 0}^{n} \log_{p} x_{i}}$

本題

上記の公式をもとに、総乗に対応する連続な変換を考えます。
もう無理やり置き換えるだけですね。
公式2の総和のとこ
$\prod_{i = 0}^{n} x_{i} = p^{\sum_{i = 0}^{n} \log_{p} x_{i}}$
を、積分に置き換えて
$\prod_{i = 0}^{n} f (x) \sim p^{\int_{a}^{b} \log_{p} f (x) d x}$
こうなります。

絡分(仮名)

総乗に対応する連続な変換である絡分とは、
実数関数 $f (x)$ に対して次の関数 $F (x)$ を得る変換である。ここで絡分の底 $p$ は任意の1でない正の実数とする。
$F (x) = p^{\int_{a}^{b} \log_{p} f (x) d x}$

計算例

ここでは $f (x)$ の原始関数の一つを得るために、積分範囲を $0$ から $x$ にしておきます。

f (x) = a

(定数)の絡分

絡分の底は $e$ とします。(が、 $F (x)$ は底によらず一定です。)
まず、
$\int_{0}^{x} \log f (t) d t = \int_{0}^{x} \log a d t = \log a \cdot x$
なので、
$F (x) = e^{\log a \cdot x} = a^{x}$
!FORMULA[18][-623484758][0] $f (x) = 2, F (x) = 2^{x}$

f (x) = x

の絡分

絡分の底は $e$ とします。
まず、
$\int_{0}^{x} \log f (t) d t = x \log x - x$
なので、
$F (x) = e^{x \log x - x} = (\frac{x}{e})^{x}$
!FORMULA[23][343604002][0] $f (x) = x, F (x) = (\frac{x}{e})^{x}$

f (x) = e^{x}

の絡分

絡分の底は $e$ とします。
まず、
$\int_{0}^{x} \log f (t) d t = \int_{0}^{x} t d t = \frac{1}{2} x^{2}$
なので、
$F (x) = e^{\frac{1}{2} x^{2}}$
!FORMULA[28][-2013497049][0] $f (x) = e^{x}, F (x) = e^{\frac{1}{2} x^{2}}$