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大学数学基礎問題
Abel p群のn倍写像
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$$\newcommand{aaa}[0]{\mathfrak{a}}
\newcommand{Aaa}[0]{\mathfrak{A}}
\newcommand{Ann}[0]{\mathop{\mathrm{Ann}}\nolimits}
\newcommand{Aut}[0]{\mathop{\mathrm{Aut}}\nolimits}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
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\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}}
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\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
$p$を素数, $(A,+)$を$\textrm{Abel}$$p$群, $n\in\Z$とし, $\varphi_n\colon A\to A$を$n$倍写像($\varphi_n(x)=nx$)とする. このとき, $p\nmid n$であれば, $\varphi_n\colon A\to A$は同型である.
$\lvert A\rvert=p^k$ ($k\in\N_0$)とすると,
$$
p^k\Z\subseteq\Ann_\Z A=\Ker(\Z\to\End A)
$$
であるから,
$$
\Z/p^k\Z\rightarrow\End A
$$
が誘導される. つまり, $A$は自然に$\Z/p^k\Z$加群になる. $p\nmid n$より, $n+p^k\Z\in(\Z/p^k\Z)^\times$である. $\varphi_{n^{-1}}\colon A\to A$を$(n+p^k\Z)^{-1}$倍写像とすると, $\varphi_{n^{-1}}=\varphi_n^{-1}$である.
一般に, $\textrm{Abel}$ $p$群は$\Z_p$加群になる($\Z_p$は$p$進整数環, つまり, $\Z$の$p$進完備化である). 実際, 自然な準同型
$$
\Z_p\to\Z_p/p^k\Z_p\simeq\Z/p^k\Z\to\End A
$$
を考えれば良い. $p\nmid n$であれば, $n\in\Z_p^\times$であるから, $n^{-1}$倍写像が定まる.
投稿日：3月20日
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代数学演習
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