
&&&
$p$を素数, $(A,+)$を$\textrm{Abel}$$p$群, $n\in\Z$とし, $\varphi_n\colon A\to A$を$n$倍写像($\varphi_n(x)=nx$)とする. このとき, $p\nmid n$であれば, $\varphi_n\colon A\to A$は同型である. 
&&&

&&&prf 
$\lvert A\rvert=p^k$ ($k\in\N_0$)とすると, 
$$
\TextCenter
p^k\Z\subseteq\Ann_\Z A=\Ker(\Z\to\End A)
$$
であるから, 
$$
\TextCenter
\Z/p^k\Z\rightarrow\End A
$$
が誘導される. つまり, $A$は自然に$\Z/p^k\Z$加群になる. $p\nmid n$より, $n+p^k\Z\in(\Z/p^k\Z)^\times$である. $\varphi_{n^{-1}}\colon A\to A$を$(n+p^k\Z)^{-1}$倍写像とすると, $\varphi_{n^{-1}}=\varphi_n^{-1}$である. 
&&&

一般に, $\textrm{Abel}$ $p$群は$\Z_p$加群になる($\Z_p$は$p$進整数環, つまり, $\Z$の$p$進完備化である). 実際, 自然な準同型
$$
\TextCenter
\Z_p\to\Z_p/p^k\Z_p\simeq\Z/p^k\Z\to\End A
$$
を考えれば良い. $p\nmid n$であれば, $n\in\Z_p^\times$であるから, $n^{-1}$倍写像が定まる. 



Abel p群のn倍写像

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